Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1,…, tam giác An+1Bn+1Cn+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác AnBnCn, … . Gọi p1, p2, ..., pn, … và S1, S2, …, Sn, … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác
LG a
Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({p_1} = {a \over 2} + {a \over 2} + {a \over 2} = {{3a} \over 2};\)
\({p_2} = \frac{a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{a}{4}= {{3a} \over 4} = {{3a} \over {{2^2}}}\)
...
\({p_n} = {{3a} \over {{2^n}}}\) (1)
Chứng minh bằng qui nạp:
+) Với n=1 thì \({p_1} = \frac{{3a}}{2}\) (đúng).
+) Giả sử (1) đúng với n=k, tức là \({p_k} = {{3a} \over {{2^k}}}\). Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1.
Tam giác \({A_{k + 1}}{B_{k + 1}}{C_{k + 1}}\) đồng dạng tam giác \(A_kB_kC_k\) theo tỉ số \(\frac{1}{2}\) nên có chu vi \({p_{k + 1}} = \frac{1}{2}{p_k} = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{{{2^k}}} = \frac{{3a}}{{{2^{k + 1}}}}\)
Do đó ta có \({p_n} = \frac{{3a}}{{{2^n}}}\).
Vì \(\lim {1 \over {{2^n}}} = \lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0\text { nên }\lim {p_n} = 0\)
Diện tích tam giác ABC là \(S = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\). Diện tích tam giác A1B1C1là \({S_1} = {S \over 4}\)
Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh được rằng diện tích tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) là \({S_n} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.{\left( {{1 \over 4}} \right)^n}\)
Vì \(\lim {\left( {{1 \over 4}} \right)^n} = 0\) nên \(\lim {S_n} = 0\).
LG b
Tìm các tổng
\({p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ...\) và \({S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có (pn) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q = {1 \over 2},\) do đó :
\({p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ... = {{{p_1}} \over {1 - {1 \over 2}}}\) \( = 2{p_1}= 2.\frac{{3a}}{2} = 3a\)
(Sn) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q' = {1 \over 4}\) do đó :
\({S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ... = {{{S_1}} \over {1 - {1 \over 4}}} \) \(= {4 \over 3}{S_1} = {S \over 3} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\)
