Tìm các giới hạn sau :
LG a
\(\lim \left( {3{n^3} - 7n + 11} \right)\)
Phương pháp giải:
Đặt lũy thừa bậc cao nhất của n ra làm nhân tử chung và sử dụng các quy tắc tính giới hạn.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \lim \left( {3{n^3} - 7n + 11} \right) \cr &= \lim {n^3}\left( {3 - {7 \over {{n^2}}} + {{11} \over {{n^3}}}} \right) = + \infty \cr
& \text{ vì }\,{{\mathop{\rm limn}\nolimits} ^3} = + \infty \cr &\text{ và }\lim \left( {3 - {7 \over {{n^2}}} + {{11} \over {{n^3}}}} \right) = 3 > 0 \cr} \)
LG b
\(\lim \sqrt {2{n^4} - {n^2} + n + 2} \)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \lim \sqrt {2{n^4} - {n^2} + n + 2} \cr & = \lim \sqrt {{n^4}\left( {2 - \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}} \right)} \cr &= \lim {n^2}.\sqrt {2 - {1 \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^3}}} + {2 \over {{n^4}}}} = + \infty \cr
& \text{ vì }\;\lim {n^2} = + \infty \cr & \text{ và }\lim \sqrt {2 - {1 \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^3}}} + {2 \over {{n^4}}}} = \sqrt 2 > 0 \cr} \)
LG c
\(\lim \root 3 \of {1 + 2n - {n^3}} \)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \lim \root 3 \of {1 + 2n - {n^3}} \cr & = \lim \sqrt[3]{{{n^3}\left( {\frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^2}}} - 1} \right)}}\cr &= \lim n\root 3 \of {{1 \over {{n^3}}} + {2 \over {{n^2}}} - 1} = - \infty \cr
& \text{ vì }\lim n = + \infty \cr &\text{ và }\lim \root 3 \of {{1 \over {{n^3}}} + {2 \over {{n^2}}} - 1} = - 1 < 0 \cr} \)
LG d
\(\lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2} .\)
Phương pháp giải:
Đặt \(3^n\) ra làm nhân tử chung và tính giới hạn.
Chú ý sử dụng giới hạn đã chứng minh ở bài tập 4 trang 130
Lời giải chi tiết:
\(\sqrt {{{2.3}^n} - n + 2}\) \(= \lim \sqrt {{3^n}\left( {2 - \frac{n}{{{3^n}}} + \frac{2}{{{3^n}}}} \right)} \) \( = {\left( {\sqrt 3 } \right)^n}\sqrt {2 - {n \over {{3^n}}} + {2 \over {{3^n}}}} \) với mọi n.
Vì \(\lim {n \over {{3^n}}} = 0\) (xem bài tập 4) và \(\lim {2 \over {{3^n}}} = 0\)
Nên \(\lim \sqrt {2 - {n \over {{3^n}}} + {2 \over {{3^n}}}} = \sqrt 2 > 0\)
Ngoài ra \(\lim {\left( {\sqrt 3 } \right)^n} = + \infty \)
Do đó \(\lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2} = + \infty \)
