Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó :
LG a
\(f\left( x \right) = {{{x^2} + 3x + 4} \over {2x + 1}}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số f là \(\mathbb R\) \\(\left\{ {{1 \over 2}} \right\}\).
Hàm số phân thức hữu tỉ nên f liên tục trên tập xác định của nó, tức là liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( { - {1 \over 2}; + \infty } \right)\)
LG b
\(f\left( x \right) = \sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} \)
Lời giải chi tiết:
Hàm số f xác định khi và chỉ khi :
\(\left\{ {\matrix{{1 - x \ge 0} \cr {2 - x \ge 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x \le 1\)
Do đó tập xác định của hàm số f là \(\left( { - \infty ;1} \right]\)
Với mọi \({x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right)\) ,ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} } \right) \) \(= \sqrt {1 - {x_0}} + \sqrt {2 - {x_0}} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số f liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right).\)
Ngoài ra
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} } \right) \) \(= 1 = f\left( 1 \right)\) nên hàm số liên tục trái tại x=1.
Do đó hàm số f liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right]\)
