Giải các phương trình sau:
LG a
3cosx+4sinx=−5
Lời giải chi tiết:
Chia hai vế phương trình cho √32+42=5 ta được :
35cosx+45sinx=−1⇔cosxcosα+sinxsinα=−1( trong đó cosα=35 và sinα=45)⇔cos(x−α)=−1⇔x−α=π+k2π⇔x=π+α+k2π,k∈Z
LG b
2\sin2x – 2\cos2x = \sqrt 2
Lời giải chi tiết:
Chia hai vế phương trình cho \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 ta được :
\eqalign{& {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2x - {1 \over {\sqrt 2 }}\cos 2x = {1 \over 2} \cr&\Leftrightarrow \sin 2x\cos {\pi \over 4} - \cos 2x\sin {\pi \over 4} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {2x - {\pi \over 4}} \right) = {1 \over 2} \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x - {\pi \over 4} = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {2x - {\pi \over 4} = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {{5\pi } \over {24}} + k\pi } \cr {x = {{13\pi } \over {24}} + k\pi } \cr} } \right.,k \in \mathbb Z \cr}
LG c
5\sin2x – 6\cos^2 x = 13
Lời giải chi tiết:
\eqalign{ & 5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13\cr& \Leftrightarrow 5\sin 2x - 3\left( {1 + \cos 2x} \right) = 13 \cr & \Leftrightarrow 5\sin 2x - 3\cos 2x = 16 \cr}
Chia cả hai vế cho \sqrt {{5^2} + {3^2}} = \sqrt {34} ta được :
{5 \over {\sqrt {34} }}\sin 2x - {3 \over {\sqrt {34} }}\cos 2x = {{16} \over {\sqrt {34} }}
Do {\left( {{5 \over {\sqrt {34} }}} \right)^2} + {\left( {{3 \over {\sqrt {34} }}} \right)^2} = 1 nên ta chọn được số α sao cho :
\cos \alpha = {5 \over {\sqrt {34} }}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {3 \over {\sqrt {34} }}
Ta có: 5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13
\Leftrightarrow \sin 2x\cos \alpha - \cos 2x\sin \alpha = \frac{{16}}{{\sqrt {34} }}
\Leftrightarrow \sin \left( {2x - \alpha } \right) = {{16} \over {\sqrt {34} }} > 1
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
