Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả đã cho.
Câu 63
a. \(\lim {{n - 2\sqrt n \sin 2n} \over {2n}}\) là :
A. 1
B. \({1 \over 2}\)
C. -1
D. 0
b. \(\lim {{{n^2} - 3{n^3}} \over {2{n^3} + 5n - 2}}\) là :
A. \({1 \over 2}\)
B. \({1 \over 5}\)
C. \({-3 \over 2}\)
D. 0
c.\(\lim {{{3^n} - 1} \over {{2^n} - {2}.3^n + 1}}\) là :
A. \({-1 \over 2}\)
B. \({3 \over 2}\)
C. \({1 \over 2}\)
D. -1
d.\(\lim \left( {2n - 3{n^3}} \right)\) là :
A. +∞
B. −∞
C. 2
D. -3
Lời giải chi tiết:
a. \(\eqalign{& \lim {{n - 2\sqrt n \sin 2n} \over {2n}} = \lim \left( {{1 \over 2} - {{\sin 2n} \over {\sqrt n }}} \right) = {1 \over 2} \cr & \text{vì }\,\left| {{{\sin 2n} \over {\sqrt n }}} \right| \le {1 \over {\sqrt n }},\lim {1 \over {\sqrt n }} = 0. \cr} \)
Chọn B
b. \(\lim {{{n^2} - 3{n^3}} \over {2{n^3} + 5n - 2}} = \lim {{{1 \over n} - 3} \over {2 + {5 \over {{n^2}}} - {2 \over {{n^3}}}}} = - {3 \over 2}.\)
Chọn C
c. \(\lim {{{3^n} - 1} \over {{2^n} - {{2.3}^n} + 1}} = \lim {{1 - {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}} \over {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 2 + {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}}} = - {1 \over 2}\)
Chọn A
d. \(\lim \left( {2n - 3{n^3}} \right) = \lim {n^3}\left( {{2 \over {{n^2}}} - 3} \right) = - \infty \)
Chọn B
Câu 64
a.\(\lim {{{n^3} - 2n} \over {1 - 3{n^2}}}\) là :
A. \({-1 \over 3}\)
B. \({2 \over 3}\)
C. +∞
D. −∞
b. \(\lim \left( {{2^n} - {5^n}} \right)\) là :
A. +∞
B. 1
C. −∞
D. \({5 \over 2}\)
c.\(\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\) là :
A. +∞
B. −∞
C. 0
D. 1
d.\(\lim {1 \over {\sqrt {{n^2} + n} - n}}\) là :
A. +∞
B. 0
C. 2
D. -2
Lời giải chi tiết:
a. \(\lim {{{n^3} - 2n} \over {1 - 3{n^2}}} = \lim {{1 - {2 \over {{n^2}}}} \over {{1 \over {{n^3}}} - {3 \over n}}} = - \infty \)
Chọn D
b. \(\lim \left( {{2^n} - {5^n}} \right) = \lim {5^n}\left[ {{{\left( {{2 \over 5}} \right)}^n} - 1} \right] = - \infty \)
Chọn C
c. \(\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = \lim {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = 0\)
Chọn C
d. \(\lim {1 \over {\sqrt {{n^2} + n} - n}} = \lim {{\sqrt {{n^2} + n} + n} \over n} \)
\(= \lim \left( {\sqrt {1 + {1 \over n}} + 1} \right) = 2\)
Chọn C
Câu 65
a.\(\lim {{1 - {2^n}} \over {{3^n} + 1}}\) là :
A. \({-2 \over 3}\)
B. 0
C. 1
D. \({1 \over 2}\)
b. Tổng của cấp số nhân vô hạn
\( - {1 \over 2},{1 \over 4}, - {1 \over 8},...,{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{2^n}}},...\)
Là :
A. \({-1 \over 4}\)
B. \({1 \over 2}\)
C. -1
D. \({-1 \over 3}\)
c. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số :
A. \({6 \over 11}\)
B. \({46 \over 90}\)
C. \({43 \over 90}\)
D. \({47 \over 90}\)
Lời giải chi tiết:
a. \(\lim {{1 - {2^n}} \over {{3^n} + 1}} = \lim {{{{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n} - {{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n}} \over {1 + {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}}} = 0\)
Chọn B
b. Công bội \(q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = {1 \over 4}:\left( { - {1 \over 2}} \right) = - {1 \over 2}\)
\(S = {{{u_1}} \over {1 - q}} = {{ - {1 \over 2}} \over {1 + {1 \over 2}}} = - {1 \over 3}\)
Chọn D
c.
\(\eqalign{
& 0,5111... = 0,5 + 0,01 + 0,001 + ... \cr
& = {1 \over 2} + \left( {{1 \over {100}} + {1 \over {1000}} + ...} \right) = {1 \over 2} + {{{1 \over {100}}} \over {1 - {1 \over {10}}}} = {{46} \over {90}} \cr} \)
Chọn B
Câu 66
a. Trong bốn giới hạn sau đây giới hạn nào là -1 ?
A. \(\lim {{2n + 3} \over {2 - 3n}}\)
B. \(\lim {{{n^2} - {n^3}} \over {2{n^3} + 1}}\)
C. \(\lim {{{n^2} + n} \over { - 2n - {n^2}}}\)
D. \(\lim {{{n^3}} \over {{n^2} + 3}}\)
b. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là +∞ ?
A. \(\lim {{{n^2} - 3n + 2} \over {{n^2} + n}}\)
B. \(\lim {{{n^3} + 2n - 1} \over {n - 2{n^3}}}\)
C. \(\lim {{2{n^2} - 3n} \over {{n^3} + 3n}}\)
D. \(\lim {{{n^2} - n + 1} \over {2n - 1}}\)
c. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?
A. \(\lim {{{2^n} + 1} \over {{{3.2}^n} - {3^n}}}\)
B. \(\lim {{{2^n} + 3} \over {1 - {2^n}}}\)
C. \(\lim {{1 - {n^3}} \over {{n^2} + 2n}}\)
D. \(\lim {{\left( {2n + 1} \right){{\left( {n - 3} \right)}^2}} \over {n - 2{n^3}}}\)
Lời giải chi tiết:
a.
\(\eqalign{
& \lim {{2n + 3} \over {2 - 3n}} = \lim {{2 + {3 \over n}} \over {{2 \over n} - 3}} = - {2 \over 3} \cr
& \lim {{{n^2} - {n^3}} \over {2{n^3} + 1}} = \lim {{{1 \over n} - 1} \over {2 + {1 \over {{n^3}}}}} = - {1 \over 2} \cr
& \lim {{{n^2} + n} \over { - 2n - {n^2}}} = \lim {{1 + {1 \over n}} \over { - {2 \over n} - 1}}=-1 \cr
& \lim {{{n^3}} \over {{n^2} + 3}} = + \infty \cr} \)
Chọn C
b.
\(\eqalign{
& \lim {{{n^2} - 3n + 2} \over {{n^2} + n}} = \lim {{1 - {3 \over n} + {2 \over {{n^2}}}} \over {1 + {1 \over n}}} = 1 \cr
& \lim {{{n^3} + 2n - 1} \over {n - 2{n^3}}} = \lim {{1 + {2 \over {{n^2}}} - {1 \over {{n^3}}}} \over {{1 \over {{n^2}}} - 2}} = - {1 \over 2} \cr
& \lim {{2{n^2} - 3n} \over {{n^3} + 3n}} = \lim {{{2 \over n} - {3 \over {{n^2}}}} \over {1 + {3 \over {{n^2}}}}} = 0 \cr
& \lim {{{n^2} - n + 1} \over {2n - 1}} = \lim {{1 - {1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} \over {{2 \over n} - {1 \over {{n^2}}}}} = + \infty \cr} \)
Chọn D
c.
\(\eqalign{
& \lim {{{2^n} + 1} \over {{{3.2}^n} - {3^n}}} = \lim {{{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} + {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}} \over {3.{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 1}} = 0 \cr
& \lim {{{2^n} + 3} \over {1 - {2^n}}} = \lim {{1 + {3 \over {{2^n}}}} \over {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n} - 1}} = - 1 \cr
& \lim {{1 - {n^3}} \over {{n^2} + 2n}} = - \infty \cr
& \lim {{\left( {2n + 1} \right){{\left( {n - 3} \right)}^2}} \over {n - 2{n^3}}} = - 1 \cr} \)
Chọn A
Câu 67
Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây :
a.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} - 3} \over {{x^3} + 2}}\) là :
A. 2
B. 1
C. -2
D. \( - {3 \over 2}\)
b.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {{{{x^2}} \over {{x^3} - x - 6}}} \) là :
A. \( {1 \over 2}\)
B. 2
C. 3
D. \({{\sqrt 2 } \over 2}\)
c.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} {{{x^2} + 3x - 4} \over {{x^2} + 4x}}\)
là :
A. \( {5 \over 4}\)
B. 1
C. \( - {5 \over 4}\)
D. -1
Lời giải chi tiết:
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} - 3} \over {{x^3} + 2}} = {{1 - 3} \over { - 1 + 2}} = - 2\)
Chọn C
b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {{{{x^2}} \over {{x^3} - x - 6}}} = \sqrt {{9 \over {27 - 3 - 6}}} = {{\sqrt 2 } \over 2}\)
Chọn D
c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} {{{x^2} + 3x - 4} \over {{x^2} + 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)} \over {x\left( {x + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} {{x - 1} \over x} = {5 \over 4}\)
Chọn A.
Câu 68
Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây :
a.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} - 3} \over {{x^6} + 5{x^5}}}\) là :
A. 2
B. 0
C. \( - {3 \over 5}\)
D. -3
b.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 3{x^5} + 7{x^3} - 11} \over {{x^5} + {x^4} - 3x}}\) là :
A. 0
B. -3
C. 3
D. -∞
c.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 2{x^5} + {x^4} - 3} \over {3{x^2} - 7}}\) là :
A. −∞
B. -2
C. 0
D. +∞
Lời giải chi tiết:
a.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} - 3} \over {{x^6} + 5{x^5}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{2 \over {{x^4}}} - {3 \over {{x^6}}}} \over {1 + {5 \over x}}} = 0\)
Chọn B
b.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 3{x^5} + 7{x^3} - 11} \over {{x^5} + {x^4} - 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 3 + {7 \over {{x^2}}} - {{11} \over {{x^5}}}} \over {1 + {1 \over x} - {3 \over {{x^4}}}}} = - 3\)
Chọn B
c.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 2{x^5} + {x^4} - 3} \over {3{x^2} - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 2 + {1 \over x} - {3 \over {{x^5}}}} \over {{3 \over {{x^3}}} - {7 \over {{x^5}}}}} = + \infty \)
Chọn D
Câu 69
Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây
a.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} }}\) là :
A. 1
B. -1
C. 0
D. +∞
b.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {1 - x} - 1} \over x}\) là :
A. \({1 \over 2}\)
B. \(-{1 \over 2}\)
C. +∞
D. 0
c.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{2x - 1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) là :
A. 2
B. -1
C. +∞
D. −∞
d.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} + x} \over {{x^2} + 3x + 2}}\) là
A. 2
B. \({2 \over 3}\)
C. -1
D. 0
Lời giải chi tiết:
a.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 - {1 \over x}} \over {\sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} }} = 1\)
Chọn A
b.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {1 - x} - 1} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{ - x} \over {x\left( {\sqrt {1 - x} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{ - 1} \over {\sqrt {1 - x} + 1}} = - {1 \over 2}\)
Chọn B
c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{2x - 1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = + \infty \)
Chọn C
d.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} + x} \over {{x^2} + 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{x\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {x \over {x + 2}} = - 1\)
Chọn C
Câu 70
a. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là -1 ?
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} + x - 1} \over {3x + {x^2}}}\)
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 3} \over {{x^2} - 5x}}\)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} - {x^2} + 3} \over {5{x^2} - {x^3}}}\)
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^2} - 1} \over {x + 1}}\)
b. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - 1} \over {{x^3} - 1}}\)
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{2x + 5} \over {x + 10}}\)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{{x^2} - 1} \over {{x^2} - 3x + 2}}\)
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\)
c. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào không tồn tại ?
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 1} \over {{x^2} + 1}}\)
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos x\)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x \over {\sqrt {x + 1} }}\)
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {x \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
a.
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} + x - 1} \over {3x + {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2 + {1 \over x} - {1 \over {{x^2}}}} \over {{3 \over x} + 1}} = 2 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 3} \over {{x^2} - 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{2 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} \over {1 - {5 \over x}}} = 0 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} - {x^2} + 3} \over {5{x^2} - {x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 - {1 \over x} + {3 \over {{x^3}}}} \over {{5 \over x} - 1}} = - 1 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^2} - 1} \over {x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - 1} \right) = - \infty \cr} \)
Chọn C
b.
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - 1} \over {{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {1 \over {{x^2} + x + 1}} = {1 \over 3} \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{2x + 5} \over {x + 10}} = {1 \over 8} \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{{x^2} - 1} \over {{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x + 1} \over {x - 2}} = - 2 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 \cr} \)
Chọn D
c.
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 1} \over {{x^2} + 1}} = 0 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x \over {\sqrt {x + 1} }} = 0 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {x \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = - \infty \cr} \)
Không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos x\) (chọn 2 dãy \({x_n} = 2n\pi \) và \(x{'_n} = {\pi \over 2} + 2n\pi \);\(\;\mathop {\lim }\limits\cos x{'_n} = 0\);\(\;\mathop {\lim }\limits\cos x{_n} = 1\))
Chọn B.
Câu 71
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :
Hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2}} \over x}\,\text{ với }\,x < 1,x \ne 0} \cr {0\,\text{ với }\,x = 0} \cr {\sqrt x \,\text{ với }\,x \ge 1} \cr} } \right.\)
A. Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm x thuộc đoạn [0 ; 1]
B. Liên tục tại mọi điểm thuộc \(\mathbb R\).
C. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0
D. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 1.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D =\mathbb R\)
f liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right);\left( {0;1} \right)\,va\,\left( {1; + \infty } \right)\)
Tại x = 0 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2}} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 0 = f\left( 0 \right)\)
Suy ra f liên tục tại x = 0
Tại x = 1 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{{x^2}} \over x} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt x = 1 = f\left( 1 \right)\)
Vậy f liên tục tại \(x = 1\) nên f liên tục tại mọi điểm thuộc \(\mathbb R\).
Chọn B
