Đề bài
Tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và ^AOB=^AOC=60∘,^BOC=90∘
a. Chứng tỏ rằng ABC là tam giác vuông và OA ⊥ BC
b. Tìm đường vuông góc chung IJ của OA và BC ; tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
c. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ABC) và (OBC) vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết
a. Vì ^AOB=^AOC=60∘
OA = OB = OC = a
Nên AB = AC = a
Suy ra ΔABC = ΔOBC
Vậy tam giác ABC vuông cân tại A
Gọi J là trung điểm của BC thì OJ ⊥ BC, AJ ⊥ BC nên OA ⊥ BC.
Cách khác:
b. Gọi I là trung điểm của OA, do OJ = AJ nên JI ⊥ OA, mà JI ⊥ BC, vậy IJ là đường vuông góc chung của OA và BC.
IJ2=OJ2−OI2=(a√22)2−(a2)2=a24.
Suy ra : d(OA ; BC) = a2
c. Từ các kết quả trên ta có : OJ ⊥ BC, AJ ⊥ BC, IJ = 12OA
Vậy góc giữa mp(OBC) và mp(ABC) bằng góc ^OJA và ^OJA=90∘, do đó mp(OBC) ⊥ mp(ABC).
