Đề bài
Một điểm M chuyển động trên parabol \(y = - {x^2} + 17x - 66\) theo hướng tăng của x. Một người quan sát đứng ở vị trí P(2 ; 0)
Hãy xác định các giá trị của hoành độ điểm M để người quan sát có thể nhìn thấy được điểm M.
Lời giải chi tiết
Người quan sát thấy được điểm M nếu M thuộc phần parabol nằm trong góc tạo bởi hai tiếp tuyến của parabol đi qua P(2 ; 0). Điều đó tương đương với bất đẳng thức kép x1 ≤ m ≤ x2; trong đó m là hoành độ của điểm M, x1 và x2 là hoành độ hai tiếp điểm. Ta cần xác định x1 và x2.
Phương trình đường thẳng (d) đi qua P(2 ; 0) với hệ số góc bằng k là :
\(y = k(x – 2)\)
Để (d) là tiếp tuyến của parabol \(y = - {x^2} + 17x - 66\) thì ta phải có :
\(\left\{ {\matrix{ { - {x^2} + 17x - 66 = k\left( {x - 2} \right)} \cr { - 2x + 17 = k} \cr } } \right.\)
Thế k=-2x+17 vào phương trình trên ta được:
\[\begin{array}{l}
- {x^2} + 17x - 66 = \left( { - 2x + 17} \right)\left( {x - 2} \right)\\
\Leftrightarrow - {x^2} + 17x - 66 = - 2{x^2} + 21x - 34\\
\Leftrightarrow {x^2} - 4x - 32 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 8\\
x = - 4
\end{array} \right.
\end{array}\]
(x=8 và x=-4 chính là hai hoành độ tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ P(2 ; 0) đến parabol đã cho).
Vậy người quan sát có thể nhìn được các điểm M thuộc parabol đã cho, nếu hoành độ điểm M thuộc đoạn [-4 ; 8].
