Đề bài
Cho dãy số (un) xác định bởi
u1=2 và un=un−1+12 với mọi n≥2
Chứng minh rằng
un=2n−1+12n−1 (1)
Với mọi số nguyên dương n.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương pháp quy nạp
+) chỉ ra đẳng thức đúng với n = 1: u1=21−1+121−1
+) Giả sử đẳng thức đúng đến n=k, chứng minh n=k+1 đẳng thức vẫn đúng.
Lời giải chi tiết
+) Với n=1, theo giả thiết ta có u1=2=21−1+121−1. Như vậy (1) đúng khi n=1.
+) Giả sử (1) đúng đến n=k,k∈N∗ tức là: uk=2k−1+12k−1
Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1
uk+1=uk+12=2k−1+12k−1+12
=2k−1+1+2k−12k−12=2.2k−1+12.2k−1=2k+12k
Vậy (1) đúng với mọi n∈N∗
