Chứng minh rằng :
LG a
Hàm số
f(x)={(x+1)2 với x≤0x2+2 với x>0
Gián đoạn tại điểm x = 0
Phương pháp giải:
Tính các giới hạn trái, giới hạn phải của hàm số tại x=0 suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
lim
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) nên không tồn tại \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right).
Vậy hàm số f gián đoạn tại x = 0
LG b
Mỗi hàm số
g\left( x \right) = \sqrt {x - 3} \text{ và }\,h\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{1 \over {x - 2}}\,\text{ với }\,x \le 1} \cr { - {1 \over x}\,\text{ với }\,x > 1} \cr} } \right.
liên tục trên tập xác định của nó.
Phương pháp giải:
Xét tính liên tục của mỗi hàm số trên các khoảng và tại điểm quan trọng.
Chú ý: Hàm phân thức liên tục trên TXĐ.
Hàm số f(x) liên tục tại điểm x_0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số g\left( x \right) = \sqrt {x - 3} là \left[ {3; + \infty } \right)
Với x0> 3 ta có \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {x - 3} = \sqrt {{x_0} - 3} = g\left( {{x_0}} \right)
Nên g liên tục trên khoảng \left( {3; + \infty } \right), ngoài ra :
\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \sqrt {x - 3} = 0 = g\left( 3 \right)
Vậy g liên tục trên \left[ {3; + \infty } \right)
*Tập xác định của hàm số
h\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{1 \over {x - 2}}\,\text{ với }\,x \le 1} \cr { - {1 \over x}\,\text{ với }\,x > 1} \cr} \,\text{ là }\,\mathbb R} \right.
Rõ ràng h liên tục trên (-∞; 1) và trên (1 ; +∞) (Vì trên các khoảng này h là hàm phân thức)
Tại x0 = 1 ta có :
\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {1 \over {x - 2}} = - 1;\cr &\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{ - 1} \over x} = - 1 \cr & \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) =\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} h\left( x \right) \cr}
Mà h(1)=-1 nên \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} h\left( x \right)=h(1) hay h(x) liên tục tại x=1.
Vậy h liên tục trên \mathbb R.
