Chứng minh rằng :
LG a
Hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\,\text{ với }\,x \le 0} \cr {{x^2} + 2\,\text{ với }\,x > 0} \cr} } \right.\)
Gián đoạn tại điểm x = 0
Phương pháp giải:
Tính các giới hạn trái, giới hạn phải của hàm số tại x=0 suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = 2 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\left( {x + 1} \right)^2} = 1 \cr} \)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\).
Vậy hàm số f gián đoạn tại \(x = 0\)
LG b
Mỗi hàm số
\(g\left( x \right) = \sqrt {x - 3} \) \(\text{ và }\,h\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{1 \over {x - 2}}\,\text{ với }\,x \le 1} \cr { - {1 \over x}\,\text{ với }\,x > 1} \cr} } \right.\)
liên tục trên tập xác định của nó.
Phương pháp giải:
Xét tính liên tục của mỗi hàm số trên các khoảng và tại điểm quan trọng.
Chú ý: Hàm phân thức liên tục trên TXĐ.
Hàm số f(x) liên tục tại điểm \(x_0\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 3} \) là \(\left[ {3; + \infty } \right)\)
Với x0> 3 ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {x - 3} \) \(= \sqrt {{x_0} - 3} = g\left( {{x_0}} \right)\)
Nên g liên tục trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right),\) ngoài ra :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \sqrt {x - 3} \) \(= 0 = g\left( 3 \right)\)
Vậy g liên tục trên \(\left[ {3; + \infty } \right)\)
*Tập xác định của hàm số
\(h\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{1 \over {x - 2}}\,\text{ với }\,x \le 1} \cr { - {1 \over x}\,\text{ với }\,x > 1} \cr} \,\text{ là }\,\mathbb R} \right.\)
Rõ ràng h liên tục trên \((-∞; 1)\) và trên \((1 ; +∞)\) (Vì trên các khoảng này h là hàm phân thức)
Tại x0 = 1 ta có :
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {1 \over {x - 2}} = - 1;\cr &\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{ - 1} \over x} = - 1 \cr
& \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) =\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} h\left( x \right) \cr} \)
Mà h(1)=-1 nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} h\left( x \right)=h(1)\) hay h(x) liên tục tại x=1.
Vậy h liên tục trên \(\mathbb R\).
