Đề bài
Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC nằm trong mp(P), cạnh AB và AC lần lượt tạo với mp(P) các góc β và γ. Gọi α là góc tạo bởi mp(P) và mp(ABC). Chứng minh rằng sin2α=sin2β+sin2γ
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
Kẻ AH ⊥ mp(P) và AI ⊥ BC.
Khi đó HB là hình chiếu của AB trên (P) nên góc giữa AB và (P) bằng góc giữa AB và HB hay β=^ABH
HC là hình chiếu của AC trên (P) nên góc giữa AC và (P) bằng góc giữa AC và HC hay γ=^ACH
Lại có:
{AI⊥BCAH⊥BC(AH⊥(P)) ⇒BC⊥(AIH)⇒BC⊥HI
Mà BC⊥AI và (ABC)∩(P)=BC nên góc giữa (ABC) và (P) bằng góc giữa AI và HI hay α=^AIH. (do ^AIH<900).
Vì ΔABC vuông ở A nên :
1AI2=1AB2+1AC2⇒AH2AI2=AH2AB2+AH2AC2haysin2α=sin2β+sin2γ
