Chứng minh rằng các phương trình sau đây vô nghiệm :
LG a
\sin x – 2\cos x = 3
Lời giải chi tiết:
\sin x - 2\cos x = 3 \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 5 }}\sin x - {2 \over {\sqrt 5 }}\cos x = {3 \over {\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \alpha } \right) = {3 \over {\sqrt 5 }}
trong đó α là số thỏa mãn \cos \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }}.
Phương trình cuối cùng vô nghiệm do {3 \over {\sqrt 5 }} > 1, nên phương trình đã cho vô nghiệm.
LG b
5\sin2x + \sin x + \cos x + 6 = 0
Phương pháp giải:
Đặt \sin x + \cos x = t
Lời giải chi tiết:
Đặt t = \sin x + \cos x ta có:
\begin{array}{l} {t^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\\ = {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x\\ = 1 + \sin 2x\\ \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1 \end{array}
Lại có: {t^2} = 1 + \sin 2x \le 2 \Rightarrow - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2
Thay vào pt đã cho được:
5.\left( {{t^2} - 1} \right) + t + 6 = 0 \Leftrightarrow 5{t^2} + t + 1 = 0
Phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.
