Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho
a. sin2x=−12 với 0<x<π
b. cos(x−5)=√32 với −π<x<π
LG a
sin2x=−12 với 0<x<π
Lời giải chi tiết:
Ta có: sin2x=−12⇔sin2x=sin(−π6)
⇔[2x=−π6+k2π2x=7π6+k2π
⇔[x=−π12+kπx=7π12+kπ(k∈Z)
Với điều kiện 0 < x < π ta có :
* 0 < - {\pi \over {12}} + k\pi < \pi \Leftrightarrow {1 \over {12}} < k < {{13} \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z
Vì k \in Z nên k = 1, khi đó ta có nghiệm x = {{11\pi } \over {12}}
* 0 < {{7\pi } \over {12}} + k\pi < \pi \Leftrightarrow - {7 \over {12}} < k < {5 \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z
Vì k \in Z nên k = 0, khi đó ta có nghiệm x = {{7\pi } \over {12}}
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trong khoảng (0 ; π) là :
x = {{7\pi } \over {12}}\,\text{ và }\,x = {{11\pi } \over {12}}
LG b
\cos \left( {x - 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2}\,\text{ với }\, - \pi < x < \pi
Lời giải chi tiết:
\cos \left( {x - 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2}
\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x - 5 = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x - 5 = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr} } \right.
\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr} } \right.
Ta tìm k để điều kiện –π < x < π được thỏa mãn.
Xét họ nghiệm thứ nhất :
\eqalign{ & - \pi < {\pi \over 6} + 5 + k2\pi < \pi \cr&\Leftrightarrow - 7\pi - 30 < 12k\pi < 5\pi - 30 \cr & \Leftrightarrow - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k < {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} \cr & \text{Vì }\, - 1,38 < - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k \cr&< {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < - 0,37\,,\,k \in\mathbb Z\,\text{ nên }\, \cr & \,\,\,\,\, - 1,38 < k < - 0,37 \cr}
Chỉ có một giá trị k nguyên thỏa mãn các điều kiện đó là k = -1.
Ta có nghiệm thứ nhất của phương trình là x = {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{11\pi } \over 6}
Tương tự, xét họ nghiệm thứ hai :
- \pi < - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi < \pi
\Leftrightarrow - 5\pi - 30 < 12k\pi < 7\pi - 30
\begin{array}{l} \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi }} < k < \frac{7}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi }}\\ \Rightarrow - 1,2 < k < - 0,2\\ \Rightarrow k = - 1 \end{array}
Vậy k = -1
Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là x = - {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{13\pi } \over 6}
Vậy : x = 5 - {{11\pi } \over 6}\,\text{ và }\,x = 5 - {{13\pi } \over 6}
