Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a√2
a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABCD).
b. Gọi E và F lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD ; K là điểm bất kì thuộc đường thẳng AD. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK không phụ thuộc vào K, hãy tính khoảng cách đó theo a.
Lời giải chi tiết
a. Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD).
Khi đó SH⊥(ABCD).
Xét các tam giác SHA, SHB, SHC, SHD có:
^SHA=^SHB=^SHC=^SHD=900 (vì SH⊥(ABCD)
Chung SH
Nên ΔSHA=ΔSHB=ΔSHC=ΔSHD (2 cạnh góc vuông)
⇒HA=HB=HC=HD
⇒H là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
⇒H là giao điểm của AC và BD.
Ta có:
SH2=SA2−AH2=SA2−(AC2)2=SA2−AC24=2a2−AB2+BC24=2a2−4a2+a24=3a24⇒SH=a√32
Cách khác:
b. Vì EF // AD nên EF // mp(SAD), mặt khác SK nằm trong mp(SAD) nên khoảng cách giữa EF và SK chính là khoảng cách giữa EF và mp(SAD), đó cũng chính là khoảng cách từ H đến mp(SAD).
Vậy khoảng cách giữa EF và SK không phụ thuộc vào vị trí của điểm K trên đường thẳng AD.
Tính d(EF ; SK) :
Gọi I là trung điểm của AD
⇒HI⊥AD
Mà AD⊥SH (do SH⊥(ABCD)
Nên AD⊥(SHI).
Kẻ đường cao HJ của tam giác vuông SHI thì
{HJ⊥SIHJ⊥AD(AD⊥(SHI))⇒HJ⊥(SAD)
Do đó d(H; (SAD)) = HJ.
Ta có: HJ.SI = SH.HI
SI2=SA2−AI2=2a2−a24=7a24
Từ đó HJ=SH.HISI=a√32.aa√72=a√217
Như vậy, khoảng cách giữa EF và SK không phụ thuộc vào vị trí của điểm K trên đường thẳng AD và bằng a√217
