Đề bài
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n≥2, ta luôn có đẳng thức sau :
(1−14)(1−19)...(1−1n2)=n+12n
Lời giải chi tiết
+) Với n=2 ta có 1−14=34 (đúng). Vậy (1) đúng với n=2
+) Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ta có
(1−14)(1−19)...(1−1k2)=k+12k
+) Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh :
(1−14)(1−19)...(1−1(k+1)2)=k+22(k+1)
Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :
(1−14)(1−19)...(1−1k2)(1−1(k+1)2)=k+12k(1−1(k+1)2)=k+12k.k2+2k(k+1)2=k+12k.k.(k+2)(k+1)2=k+22(k+1)
Vậy (1) đúng với n=k+1 do đó (1) đúng với mọi n≥2
