Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚.
Lời giải chi tiết
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OO1 vuông góc với SC.
Vậy góc giữa hai mp(SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng BO1 và DO1.
Mặt khác OO1 ⊥ BD, OO1 < OC (vì OC là cạnh huyền của \(\Delta O{O_1}C\) vuông tại O1) mà OC = OB nên \(\widehat {B{O_1}O} > 45^\circ .\)
Tương tự \(\widehat {D{O_1}O} > 45^\circ \) tức \(\widehat {B{O_1}D} >90^\circ \)
Như vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc \(60^\circ \) khi và chỉ khi:
\(\widehat {B{O_1}D} =120^\circ \) \( \Leftrightarrow\) \(\widehat {B{O_1}O} = 60^\circ \) (vì ΔBO1D cân tại O1)
\( \Leftrightarrow BO = O{O_1}\tan 60^\circ \) \(\Leftrightarrow BO = O{O_1}\sqrt 3 \)
Ta có \(O{O_1} \bot SC\) nên \(\widehat {O{O_1}C} = {90^0}\)
Xét tam giác \(CO{O_1}\) vuông tại \({O_1}\) có:
\(O{O_1} = OC\sin \widehat {OC{O_1}} = OC\sin \widehat {ACS}\) \( = OC.{{SA} \over {SC}}\)
Như vậy : \(BO = O{O_1}\sqrt 3 \Leftrightarrow BO = \sqrt 3 .OC.{{SA} \over {SC}} \) \(\Leftrightarrow SC = \sqrt 3 .SA\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{a^2}} = \sqrt 3 .x \Leftrightarrow x = a\)
Vậy khi x = a thì hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚
