Cho các dãy số (un) và (vn) với \({u_n} = {{{n^2} + 1} \over {n + 1}}\text{ và }{v_n} = {{2n} \over {n + 1}}\)
a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (an) với an = un + vn
b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (bn) với bn = un – vn
c) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (cn) với cn = un.vn
d) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (dn) với \({d_n} = {{{u_n}} \over {{v_n}}}\)
Chú ý
Các dãy số (an), (bn), (cn), (dn) nêu trên thường được kí hiệu tương ứng bởi (un + vn), (un – vn), (un.vn),\(\left( {{{{u_n}} \over {{v_n}}}} \right)\).
LG a
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (an) với an = un + vn
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({a_n} = {u_n} + {v_n} = {{{n^2} + 1} \over {n + 1}} + {{2n} \over {n + 1}} \)
\( = \frac{{{n^2} + 2n + 1}}{{n + 1}}\) \(= {{{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over {n + 1}} = n + 1\)
LG b
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (bn) với bn = un – vn
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({b_n} = {u_n} - {v_n} = {{{n^2} + 1} \over {n + 1}} - {{2n} \over {n + 1}}\)
\( = \frac{{{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}= {{{{\left( {n - 1} \right)}^2}} \over {n + 1}}\)
LG c
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (cn) với cn = un.vn
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({c_n} = {u_n}{v_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{n + 1}}.\frac{{2n}}{{n + 1}}= {{2n\left( {{n^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)
LG d
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (dn) với \({d_n} = {{{u_n}} \over {{v_n}}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({d_n} = {{{u_n}} \over {{v_n}}} = \frac{{{n^2} + 1}}{{n + 1}}:\frac{{2n}}{{n + 1}}\)
\(= \frac{{{n^2} + 1}}{{n + 1}}.\frac{{n + 1}}{{2n}}= {{{n^2} + 1} \over {2n}}\)
