Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Nếu
AC′=BD′=B′D=√a2+b2+c2AC′=BD′=B′D=√a2+b2+c2
Thì hình hộp đó có phải là hình hộp chữ nhật không ? Vì sao ?
Lời giải chi tiết
Áp dụng tính chất : “Tổng bình phương hai đường chéo hình bình hành bằng tổng bình phương bốn cạnh của nó” (BT 38, 4 chương II).
Ta có:
AC′2+A′C2=2(AA′2+A′C2)B′D2+BD′2=2(BB′2+BD2)⇒AC′2+A′C2+BD′2+B′D2=2(c2+c2+AC2+BD2)=4(a2+b2+c2)⇒A′C=AC′=B′D=BD′
⇒ AA’C’C và BB’D’D là các hình chữ nhật .
Từ đó suy ra AA’ ⊥ AC và AA’ ⊥ BD. Do đó AA’ ⊥ (ABCD), tức hình hộp ABCD.A’B’C’D’là hình hộp chữ nhật.
