Đề bài
Một tứ diện được gọi là gần đều nếu các cạnh đối bằng nhau từng đôi một. Với tứ diện ABCD, chứng tỏ các tính chất sau là tương đương :
a. Tứ diện ABCD là gần đều ;
b. Các đoạn thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối diện đôi một vuông góc với nhau ;
c. Các trọng tuyến (đoạn thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện) bằng nhau ;
d. Tổng các góc tại mỗi đỉnh bằng 180˚
Lời giải chi tiết
* Chứng minh a ⇔ b
Gọi M, N, P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.
a ⇒ b. Do AC = BD nên MNPQ là hình thoi, vì thế MN ⊥ PQ. Tương tự ta có MN ⊥ EF, PQ ⊥ EF.
b) ⇒ a. MPNQ là hình bình hành mà MN ⊥ PQ nên MPNQ là hình thoi, tức là MP = MQ, từ đó AC = BD.
Tương tự như trên, ta cũng có BC = AD, AB = CD.
* Chứng minh a ⇔ c
Gọi A’, B’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD và ACD.
a) ⇒ c. Ta có ΔBCD = ΔADC (c.c.c) nên BN = AN, từ đó A’N = B’N.
Vậy ΔAA’N = ΔBB’N (c.g.c), suy ra AA’ = BB’.
Tương tự như trên, ta có điều phải chứng minh.
c) ⇒ a. Do giả thiết ta có BB’ = AA’, mà AA’ cắt BB’ tại G, AG = 3GA’, BG = 3GB’ (xem BT 22, chương II, SGK), từ đó BG = AG và GA’ = GB’. Các tam giác BGA’ và AGB’ bằng nhau nên BA’ = AB’.
Như vậy BN = AN, mà :
\(\eqalign{ & A{C^2} + A{D^2} = 2A{N^2} + {{C{D^2}} \over 2} \cr & B{C^2} + B{D^2} = 2B{N^2} + {{C{D^2}} \over 2} \cr} \)
Do đó \(A{C^2} + A{D^2} = B{C^2} + B{D^2}\) (1)
Tương tự như trên ta có : \(C{A^2} + C{B^2} = D{A^2} + D{B^2}\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra AD = BC và AC = BD.
Tương tự như trên ta cũng có AB = CD.
* Chứng minh a ⇔ d
a) ⇒ d. Do sự bằng nhau của các tam giác ABC, CDA, BAD với tam giác DCB nên tổng các góc tại B bằng 180˚
Đối với các đỉnh còn lại cũng được lí luận tương tự như trên.
d) ⇒ a. Trải các mặt ABC, ACD, ABD lên mặt phẳng (BCD).
Do tổng các góc tại B cũng như tại C, tại D đều bằng 180˚ nên các bộ ba điểm A1, C, A2; A2, D, A3; A3, B, A1 là những bộ ba điểm thẳng hàng.
Như vậy, BC, CD, BD là ba đường trung bình của tam giác A1A2A3. Từ đó BD = A1C = CA2 = CA. Tương tự ta cũng có AD = BC, CD = AB.
