Chứng minh rằng :
LG a
Các hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\,\text {và }\,g\left( x \right) = {{{x^3} - 1} \over {{x^2} + 1}}\) liên tục tại mọi điểm \(x \in\mathbb R\).
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí:
Hàm đa thức, phân thức, lượng giác liên tục trên tập xác định.
Lời giải chi tiết:
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\) xác định trên \(\mathbb R\). Với mọi \(x_0\in\mathbb R\), ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^3} - x + 3} \right) \) \(= x_0^3 - {x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy f liên tục tại điểm x0. Do đó hàm số f liên tục trên \(\mathbb R\).
(Có thể khẳng định ngay: Hàm số f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên nó liên tục trên R\).
Hàm số g là hàm phân thức xác định trên R (do \(x^2+1\ne 0, \forall x\)) nên g liên tục trên tập xác định \(D=\mathbb R\).
LG b
Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}}\,\text{ với}\,x \ne 2,} \cr {1\,\text{ với}\,x = 2} \cr} } \right.\)
liên tục tại điểm \(x = 2\)
Phương pháp giải:
Hàm số y=f(x) liên tục tại \(x_0\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Với mọi \(x ≠ 2\), ta có:
\(f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}} = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {x - 2}} = x - 1\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( x-1 \right) = 1 = f\left( 2 \right)\)
Vậy hàm số f liên tục tại điểm \(x = 2\)
LG c
Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} - 1} \over {x - 1}}\,\text{ với}\,x \ne 1} \cr {2\,\text{ với}\,x = 1} \cr} } \right.\)
gián đoạn tại điểm \(x = 1\)
Lời giải chi tiết:
Với mọi \(x ≠ 1\), ta có:
\(f(x) = {{{x^3} - 1} \over {x - 1}} = {x^2} + x + 1\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,({x^2} + x + 1) = 3 \ne 2 = f(1)\)
Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm \(x = 1\)
