Đề bài
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bất đẳng thức sau :
1+1√2+...+1√n<2√n
Lời giải chi tiết
+) Với n=1 ta có 1<2√1 .
Vậy (1) đúng với n=1
+) Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ta có :
1+1√2+...+1√k<2√k
+) Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh :
1+1√2+...+1√k+1√k+1<2√k+1(∗)
Theo giả thiết qui nạp ta có :
1+1√2+...+1√k+1√k+1<2√k+1√k+1
Để chứng minh (*) ta cần chứng minh
2√k+1√k+1<2√k+1
Thật vậy ta có :
2√k+1√k+1<2√k+1⇔2√k(k+1)+1<2(k+1)⇔2√k(k+1)<2k+1⇔4k(k+1)<(2k+1)2
⇔4k2+4k<4k2+4k+1
⇔0<1 (luôn đúng)
Vậy ta có (*) luôn đúng tức (1) đúng với n=k+1, do đó (1) đúng với mọi n∈N∗.
