Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rẳng
LG a
mp(BDA’) // mp(B’D’C)
Phương pháp giải:
Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với (Q) thì (P)//(Q).
Lời giải chi tiết:
Chứng minh ( BDA’) // (B’D’C)
Tứ giác BB’D’D và A’B’CD là các hình bình hành nên : BD // B’D’ và DA’ // B’C
BD//B′D′⊂(B′D′C)⇒BD//(B′D′C)
DA′//CB′⊂(B′D′C)⇒DA′//(B′D′C)
Mà BD,DA′⊂(A′BD)⇒(A′BD)//(B′D′C)
Vậy (BDA’) // (B’D’C).
LG b
Đường chéo AC’ đi qua các trọng tâm G1, G2 của hai tam giác BDA’ và B’D’C
Lời giải chi tiết:
Chứng minh G1 , G2 ∈ AC’
Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và A’B’C’D’.
Trong mặt phẳng (AA’C’C) gọi G1 , G2 lần lượt là giao điểm của AC’ với A’O và O’C.
Ta chứng minh G1, G2 lần lượt là trọng tâm của ∆A’BD và ∆CB’D’.
Thật vậy, ta có ∆G1OA đồng dạng ∆G1A’C’ ( vì AC // A’C’)
⇒G1OG1A′=OAA′C′=12⇒A′G1A′O=23
⇒ G1 là trọng tâm ∆A’BD.
Tương tự, G2 là trọng tâm ∆CB’D’. Vậy AC’ đi qua G1, G2 .
LG c
G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau
Lời giải chi tiết:
Chứng minh AG1 = G1G2 = G2C’
Theo câu trên , ta có:
AG1G1C′=AOA′C′=12 ( vì ∆G1OA đồng dạng ∆G1A’C’) ⇒AG1=13AC′ (1)
Tương tự: C′G2G2A=C′O′CA=12 ( vì ∆G2C’O' đồng dạng ∆G2AC) ⇒C′G2=13AC′ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AG1 = G1G2 = G2C’.
LG d
Các trung điểm của sáu cạnh BC, CD, DD’, D’A’, A’B’,B’B cùng nằm trên một mặt phẳng
Lời giải chi tiết:
Gọi M, N, P, Q, S, R lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, DD’, C’D’, C’B’, B’B.
Ta có: {MN//BDSP//BD⇒MN//SP
Gọi (α) = (MN, SP)
Ta có : {PQ//DC′MS//AB′⇒PQ//MS
( vì DC’ // AB’)
⇒ PQ ⊂ (α) do đó Q ∈ (α).
Tương tự: QR // MN ⇒ QR ⊂ (α) do đó R ∈ (α).
Vậy M, N, P, Q, R, S ∈ (α).
Mặt khác vì {MS//AB′NP//AD′ nên (MNPQRS) // (AB’D').
