Cho dãy số (un) với un=n3n
LG a
Chứng minh rằng un+1un≤23 với mọi n.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
un+1un=n+13n+1:n3n=n+13.3n.3nn=13.n+1n=13(1+1n)≤13(1+1)=23,∀n≥1.
(Vì ∀n≥1⇒1n≤1)
LG b
Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng 0<un≤(23)n với mọi n.
Lời giải chi tiết:
Rõ ràng un>0,∀n≥1.
Ta chứng minh un≤(23)n(1)
+) Với n=1 ta có u1=13≤23
Vậy (1) đúng với n=1
+) Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ta có:
uk≤(23)k
Khi đó uk+1uk≤23⇔uk+1≤23uk (theo câu a)
⇒uk+1≤23.(23)k=(23)k+1
Vậy (1) đúng với n=k+1 nên (1) đúng với mọi n.
LG c
Phương pháp giải:
Sử dụng các định lý:
+) Cho hai dãy số (un),(vn).
Nếu |un|≤vn với mọi n và lim thì \lim {u_n} = 0.
+) Nếu \left| q \right| < 1 thì \lim {q^n} = 0.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}
Mà \lim {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} = 0 \Rightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0
