Đề bài
Cho số thực x>−1. Chứng minh rằng :
(1+x)n≥1+nx (1)
Với mọi số nguyên dương n.
Lời giải chi tiết
+) Với n=1, ta có (1+x)1=1+x=1+1.x
Như vậy, ta có (1) đúng khi n=1
+) Giả sử đã có (1) đúng khi n=k,k∈N∗, tức là:
(1+x)k≥1+kx
+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n=k+1.
Thật vậy, từ giả thiết x>−1 nên (1+x)>0
Theo giả thiết qui nạp, ta có : (1+x)k≥1+kx (2)
Nhân hai vế của (2) với (1+x) ta được:
(1+x)k+1≥(1+x)(1+kx)=1+x+kx+kx2=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n∈N∗.
