Đề bài
Một dải lụa có độ dài \(l = 1,05m\) một đầu gắn vào một cần rung \(R\), rồi buông thõng theo phương thẳng đứng. Cần \(R\) được kích thích bằng một nam châm điện nuôi bằng một dòng điện xoay chiều mà tần số \(f\) có thể thay đổi được một cách dễ dàng. Khi được kích thích, thì cần rung rung với tần số gấp hai lần tần số dòng điện.
a) Đầu dưới của dải lụa được thả tự do. Khi tần số dòng điện là \(0,75H{\rm{z}}\) thì dải lụa dao động ổn định với hai nút, mà một nút có thể coi như ở chỗ dải lụa gắn vào cần \(R\). Cho tần số dòng điện tăng dần. Hỏi với các tần số \({f_1},{f_2},{f_3}\) bằng bao nhiêu thì trên dải lụa lại xuất hiện thêm \(1,2\) và \(3\) nút nữa?
b) Đầu dưới của dải lụa bây giờ được giữ cố định. Giả sử tốc độ truyền sóng trên dải lụa không thay đổi, để xuất hiện một nút ở trung điểm dải lụa thì tần số dòng điện phải bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng điều kiện trên dây xảy ra sóng dừng một đầu cố định, một đầu tự do: \(l = (2m + 1)\dfrac{\lambda }{4}\) (\(m\) nguyên)
Lời giải chi tiết
a) Đầu dưới của một dải lụa được tự do, vậy tại đó có một bụng sóng, ở đầu kia có một nút, trên dây còn có một nút nữa vậy độ dài dây \(l = \dfrac{3}{4}\lambda \Rightarrow \lambda = \dfrac{4}{3}l\\ = \dfrac{4}{3}.1,05 = 1,4m\)
Tốc độ truyển sóng trên dây là: \(v = \lambda f = 1,4.2.0,75 = 2,1m/s\)
+ Trên dây thêm một nút thì:
\(\begin{array}{l}l = \dfrac{5}{4}{\lambda _1} \\\Rightarrow {\lambda _1} = \dfrac{4}{5}l = \dfrac{4}{5}.1,05 = 0,84m\\ \Rightarrow {f_1} = \dfrac{v}{{{\lambda _1}}} = \dfrac{{2,1}}{{0,84}} = 2,5Hz\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Tần số dòng điện \({f_1}' = \dfrac{1}{2}{f_1} = \dfrac{1}{2}.2,5 = 1,25Hz\)
+ Trên dây thêm hai nút thì:
\(\begin{array}{l}l = \dfrac{7}{4}{\lambda _2}\\ \Rightarrow {\lambda _2} = \dfrac{4}{7}l = \dfrac{4}{5}.1,05 = 0,6m\\ \Rightarrow {f_2} = \dfrac{v}{{{\lambda _2}}} = \dfrac{{2,1}}{{0,6}} = 3,5Hz\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Tần số dòng điện \({f_2}' = \dfrac{1}{2}{f_2} = \dfrac{1}{2}.3,5 = 1,75Hz\)
+ Trên dây thêm ba nút thì:
\(\begin{array}{l}l = \dfrac{9}{4}{\lambda _3}\\ \Rightarrow {\lambda _3} = \dfrac{4}{9}l = \dfrac{4}{9}.1,05 = 0,47m\\ \Rightarrow {f_3} = \dfrac{v}{{{\lambda _3}}} = \dfrac{{2,1}}{{0,47}} = 4,5Hz\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Tần số dòng điện \({f_3}' = \dfrac{1}{2}{f_3} = \dfrac{1}{2}.4,5 = 2,25Hz\)
b) Đầu dưới dưới được giữ cố định, khi đó có một nút dao động. Để tại trung điểm dải lụa có một nút dao động thì dải lụa phải chứa một số chẵn lần nửa bước sóng, tức là số nguyên lần nửa bước sóng.
Ta có: \(l = k\lambda \Rightarrow \lambda = \dfrac{l}{k}\) (\(k = 1,2,3...\))
Gọi tần số dao động là \({f_k}\) tương ứng với tần số dòng điện là \({f_k}'\)
\({f_k} = \dfrac{v}{{{\lambda _k}}} = k.\dfrac{v}{l} = k.\dfrac{{2,1}}{{1,05}} = 2k(Hz)\)
\({f_k}' = \dfrac{1}{2}{f_k} = k(Hz)\)
