1. Tích của một số với một vecto và các tính chất
+) Tích của một số thực \(k\)với một vecto \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vecto, kí kiệu là \(k\overrightarrow a .\)
+) Vecto \(k\overrightarrow a \) có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\) và
Cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\)
Ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\)
+) Quy ước: \(0\;\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \) và \(k\;\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)
+) Tính chất: Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và hai số thực \(k,t\) ta luôn có:
\(\begin{array}{l}k(t\overrightarrow a ) = (kt)\;\overrightarrow a \\(k + t)\,\overrightarrow a = k\overrightarrow a + t\overrightarrow a \\k(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b ;\quad k(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b \\1\;\overrightarrow a = \overrightarrow a ;\;\;( - 1)\;\overrightarrow a = - \,\overrightarrow a \end{array}\)
2. Điều kiện để hai vecto cùng phương
+) Hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại \(k\) để \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b .\)
+) Nhận xét:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} .\)
+) Chú ý:
Cho hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Với mỗi vecto \(\overrightarrow c \) luôn tồn tại duy nhất cặp số thực \((m;n)\) sao cho \(\overrightarrow c = m\,\overrightarrow a + n\,\overrightarrow b \)
CHƯƠNG V. VECTƠ
BÀI 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTO
1. Tích của một số với một vecto và các tính chất
+) Tích của một số thực \(k\)với một vecto \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vecto, kí kiệu là \(k\overrightarrow a .\)
+) Vecto \(k\overrightarrow a \) có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\) và
Cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\)
Ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\)
+) Quy ước: \(0\;\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \) và \(k\;\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)
+) Tính chất: Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và hai số thực \(k,t\) ta luôn có:
2. Điều kiện để hai vecto cùng phương
+) Hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại \(k\) để \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b .\)
+) Nhận xét:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} .\)
+) Chú ý:
Cho hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Với mỗi vecto \(\overrightarrow c \) luôn tồn tại duy nhất cặp số thực \((m;n)\) sao cho \(\overrightarrow c = m\,\overrightarrow a + n\,\overrightarrow b \)
Trắc nghiệm
Câu 1. ID 11898
Câu 2. ID 11897
Câu 3. Cho hình vẽ sau:
a) Vecto nào sau đây bằng \(\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \)?
A. \(\overrightarrow {FB} \)
B. \(\overrightarrow {AF} \)
C. \(\overrightarrow {DA} \)
D. \(\overrightarrow {BG} \)
b) Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. \(\overrightarrow {DF} = 2\overrightarrow {AD} \)
B. \(\overrightarrow {DF} + \overrightarrow {GI} = \overrightarrow {LJ} \)
C. \(\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {CI} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \)
D. \(\overrightarrow {LJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)
Phương pháp
a) Vecto \(\overrightarrow a = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \Rightarrow a = \frac{1}{4}AB\) và hai vecto này cùng hướng.
b) Kiểm tra từng khẳng định
Lời giải chi tiết
a) Dễ thấy \(\overrightarrow {FB} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng, \(FB = \frac{1}{4}AB\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {FB} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \)
Chọn A
b)
\(\overrightarrow {DF} = 2\overrightarrow {AD} \) đúng vì \(\overrightarrow {DF} ,\;\overrightarrow {AD} \) cùng hướng và \(DF = 2AD\) => Loại A
\(\overrightarrow {DF} + \overrightarrow {GI} = \overrightarrow {LJ} \) đúng vì \(\overrightarrow {DF} + \overrightarrow {GI} = \overrightarrow {LE} + \overrightarrow {EJ} = \overrightarrow {LJ} \) => Loại B
\(\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {CI} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \) sai vì \(\overrightarrow {BG} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng, do đó \(\overrightarrow {BG} \ne - \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \)
\(\overrightarrow {LJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \) đúng.
Chọn C
Câu 4: Cho tứ giác ABCD. M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Tính \(\overrightarrow {MN} \) theo các vecto cạnh của tứ giác:
A. \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \)
B. \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \)
C. \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \)
D. \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \)
Phương pháp giải
Tính \(\overrightarrow {MN} \) bằng cách chèn điểm, lưu ý các vecto cùng phương \(\overrightarrow {AM} \& \overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CN} \& \overrightarrow {CD.} \)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \)
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} \)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \\\overrightarrow {MN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \\\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)
Chọn C
Câu 5. Cho hình vuông ABCD, tâm O, cạnh 4cm. Điểm E, H lần lượt thuộc các cạnh BC, CD sao cho:
\(\overrightarrow {BE} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {CH} = \frac{3}{4}\overrightarrow {CD} \). Độ dài vecto \(|\overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OH} |\) là:
A. 0
B. 1
C. 4
D. \(4\sqrt 2 \)
Phương pháp
Bước 1: Lấy M, N là trung điểm BC, CD. Nhận xét độ dài các đoạn DH, HN và BE, EM.
Bước 2: Tính vecto \(\overrightarrow {OE} ,\overrightarrow {OH} \) dựa vào tính chất trung điểm
Bước 3: Tìm vecto \(\overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OH} \), từ đó suy ra độ dài của vecto.
Lời giải chi tiết
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD.
Ta có: \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {EM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {DH} = \overrightarrow {HN} = \frac{1}{4}\overrightarrow {DC} \)
\( \Rightarrow \) E, H là trung điểm của BM và DN
\( \Rightarrow \overrightarrow {OE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OM} ),\;\;\overrightarrow {OH} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {ON} )\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OH} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {ON} ) = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} ) = \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} \)
\( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OH} } \right| = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{4}AC = \frac{1}{4}.4\sqrt 2 = \sqrt 2 \)
Chọn D.
Câu 6. Chất điểm A chị tác động của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} ,\;\overrightarrow {{F_3}} \) như hình dưới và ở trạng thái cân bằng (tức là \(\overrightarrow {{F_1}} + \;\overrightarrow {{F_2}} + \;\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \)). biết \(\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn là 50N, độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} \) là:
A. \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 25\sqrt 3 N,\;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 25N\)
B. \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 25N,\;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \frac{{25}}{{\sqrt 3 }}N\)
C. \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 25N\)
D. Đáp án khác
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} + \;\overrightarrow {{F_2}} + \;\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \;\overrightarrow {{F_2}} = - \;\overrightarrow {{F_3}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \;\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| { - \;\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\)
Dựng hình bình hành (hay hình chữ nhật) ABCD, ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} + \;\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AC} \Rightarrow AC = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 50\)
Lại có: \(\widehat {EAB} = {120^ \circ } \Rightarrow \widehat {CAB} = {60^ \circ }\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 50.\cos {60^ \circ } = 25\\BC = AD = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 50.\sin {60^ \circ } = 25\sqrt 3 \end{array} \right.\)
Chọn A.
