HĐ Khởi động
Phương pháp giải:
Với ˆA=90o ta sử dụng định lí Pytago.
Với ˆA≠90o: Áp dụng định lí cosin: a2=b2+c2−2bccosA
Lời giải chi tiết:
Áp dụng định lí Pytago, ta có:
BC2=AC2+AB2=32+42=25⇒BC=5
Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNP, ta có:
NP2=MN2+MP2−2.MN.MPcosM
Mà MN=4,MP=3,ˆM=60o
⇒NP2=42+32−2.4.3cos60o=13⇔NP=√13≈3,6
HĐ Khám phá 1
a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và ˆC≥ˆB. Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.
Hãy thay ? bằng các chữ cáu thích hợp để chứng minh công thức a2=b2+c2−2bccosA theo gợi ý sau:
Xét tam giác vuông BCD, ta có: a2=d2+(c−x)2=d2+x2+c2−2xc (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: b2=d2+x2⇒d2=b2−x2 (2)
cosA=?b⇒?=bcosA. (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: a2=b2+c2−2bccosA
Lưu ý: Nếu ˆB>ˆC thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.
b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:
a2=b2+c2−2bccosA
Lưu ý: Vì A là góc tù nên cosA=−xb.
c) Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ coogn thức a2=b2+c2−2bccosA có thể viết là a2=b2+c2.
Lời giải chi tiết:
a) ? = x vì cosA=ADAC=xb⇒?=x.
b) Xét tam giác vuông BCD, ta có: a2=d2+(c+x)2=d2+x2+c2+2xc (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: b2=d2+x2⇒d2=b2−x2 (2)
cosA=−cos^DAC=−xb⇒x=−bcosA. (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: a2=b2+c2−2bccosA
c) Ta có: a2=b2+c2−2bccosA
Mà ˆA=90o⇒cosA=cos90o=0.
⇒a2=b2+c2
Thực hành 1
Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong hình 4.
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
BC2=AC2+AB2−2AC.ABcosAcosB=AB2+BC2−AC22.AB.BC;cosC=AC2+BC2−AB22.AC.BC
Lời giải chi tiết:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
BC2=AC2+AB2−2AC.ABcosA
Mà AB=14,AC=18,ˆA=62o
⇒BC2=182+142−2.18.14cos62o≈283,3863⇔BC≈16,834
Lại có: Từ định lí cosin ta suy ra:
cosB=AB2+BC2−AC22.AB.BC;cosC=AC2+BC2−AB22.AC.BC
⇒{cosB=142+16,8342−1822.14.16,834≈0,3297cosC=182+16,8342−1422.18.16,834≈0,6788
⇒{ˆB≈70o45′ˆC≈47o15′
Vậy BC≈16,834;ˆB≈70o45′;ˆC≈47o15′.
Vận dụng 1
Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc 70o (Hình 5).
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí cosin a2=b2+c2−2bccosA
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu hai vị trí đầu hồ và vị trí quan sát lần lượt bở các điểm A, B, C như hình dưới:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
BC2=AC2+AB2−2AC.ABcosA
Mà AB=800,AC=900,ˆA=70o
⇒BC2=9002+8002−2.900.800cos70o≈957490,9936⇔BC≈987,5147
Vậy khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu hồ là 987,5147 m.
