Giải bài 5 trang 79 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo

151 lượt xem

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD

a) Chứng minh $2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right) = A{C^2} + B{D^2}$

b) Cho $AB = 4,BC = 5,BD = 7.$ Tính AC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1. Tính góc AC, BD theo AB, BC, cosA dựa vào định lí cosin

Bước 2: Biến đối để suy ra đẳng thức

b) Theo câu a: $A{C^2} = 2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right) - B{D^2}$ , từ đó suy ra AC.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí cosin ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos B\\B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos A\end{array} \right.$

Mà $AD = BC;\cos A = \cos ({180^ \circ } - B) = - \cos B$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} + 2.AB.BC.\cos A\\B{D^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.AD.\cos A\end{array} \right.\\ \Rightarrow A{C^2} + B{D^2} = 2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right)\end{array}$

b) Theo câu a, ta suy ra: $A{C^2} = 2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right) - B{D^2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A{C^2} = 2\left( {{4^2} + {5^2}} \right) - {7^2} = 33\\ \Rightarrow AC = \sqrt {33} \end{array}$

SGK Toán - Chân trời sáng tạo