Đề bài
Cho đường tròn (C) có phương trình x2+y2−2x−4y−20=0
a) Chứng tỏ rằng điểm M(4;6) thuộc đường tròn (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4;6)
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C)song song với đường thẳng 4x+3y+2022=0
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn
+) Nếu biểu thức đó bằng 0 thì M thuộc đường tròn
+) Nếu biểu thức khác 0 thì M không thuộc đường tròn
b) Phương trình tiếp tuyến của đường trong tâm I(a;b) tại điểm M(x0;y0)nằm trên đường tròn là: (a−x0)(x−x0)+(b−y0)(y−y0)=0
c) Bước 1: Xác định pt tổng quát của tiếp tuyến (biết hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng vt pháp tuyến)
Bước 2: Xác định tiếp tuyến (biết khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính)
Lời giải chi tiết
a) Thay điểm M(4;6)vào phương trình đường tròn x2+y2−2x−4y−20=0ta có:
42+62−2.4−4.6−20=0
Suy ra, điểm M thuộc đường tròn (C)
b) Đường tròn có tâm I(1;2)
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M(4;6) là:
(4−1)(x−4)+(6−2)(y−6)=0⇔3x+4y+16=0
c) Tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng 4x+3y+2022=0 nên phương trình có dạng d:4x+3y+c=0
Ta có tâm và bán kính của đường tròn là: I(1;2),r=√12+22+20=5
Khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính nên: d(I,d)=|4.1+3.2+c|√42+32=5⇒[c=15c=−35
Vậy đường tròn (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x+3y+2022=0 là d1:4x+3y+15=0,d2:4x+3y−35=0
