Giải bài 10 trang 45 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo

145 lượt xem

Đề bài

Cho bốn điểm $A\left( {7; - 3} \right),B\left( {8;4} \right),C\left( {1;5} \right),D\left( {0; - 2} \right)$ . Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tính độ dài các cạnh thông qua độ dài vecto => tứ giác là hình thoi

Bước 2: Chỉ ra một góc vuông thông qua tích vô hướng => đpcm

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow {AB} = (1;7),\overrightarrow {AD} = ( - 7;1),\overrightarrow {CD} = ( - 1; - 7)$ , $\overrightarrow {BC} = ( - 7;1)$

Suy ra $AB = \overrightarrow {AB} = \sqrt {{1^2} + {7^2}} = 5\sqrt 2 ,AD = \overrightarrow {AD} = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {1^2}} = 5\sqrt 2 ,$

$CD = \overrightarrow {CD} = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} = 5\sqrt 2$ , $BC = \overrightarrow {BC} = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 5\sqrt 2$

$\Rightarrow AB = BC = CD = DA = 5\sqrt 2$ (1)

Mặt khác ta có

$\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} }}{{AB.AD}} = \frac{{1.( - 7) + 7.1}}{{5\sqrt 2 .5\sqrt 2 }} = 0 \Rightarrow \widehat A = 90^\circ$ (2)

Từ (1) và(2) suy ra ABCD là hình vuông (đpcm)

SGK Toán - Chân trời sáng tạo