HĐ Khám phá 1
Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^2} + x + 3\)được biểu diễn trong hình 1
a) Biểu thức \(f\left( x \right)\) là đa thức bậc mấy?
b) Xác định dấu của \(f\left( 2 \right)\)
Phương pháp giải:
a) Xác định số mũ cao nhất
b) Thay \(x = 2\) vào \(f\left( x \right)\), so sánh với 0.
Lời giải chi tiết:
a) Số mũ cao nhất của hàm số là 2, suy ra biểu thức\(f\left( x \right)\)đã cho là đa thức bậc hai
b) Thay \(x = 2\) vào \(f\left( x \right)\) ta có:
\(f\left( 2 \right) = - {2^2} + 2 + 3 = 1 > 0\)
Suy ra \(f\left( 2 \right)\) dương.
Thực hành 1
Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại \(x = 1\).
a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} + x - 1\);
b) \(g\left( x \right) = - {x^4} + 2{x^2} + 1\)
c) \(h\left( x \right) = - {x^2} + \sqrt 2 .x - 3\)
Lời giải chi tiết:
a) Biểu thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} + x - 1\) là một tam thức bậc hai
\(f\left( 1 \right) = {2.1^2} + 1 - 1 = 2 > 0\) nên \(f\left( x \right)\) dương tại \(x = 1\)
b) Biểu thức \(g\left( x \right) = - {x^4} + 2{x^2} + 1\) không phải là một tam thức bậc hai
c) Biểu thức \(h\left( x \right) = - {x^2} + \sqrt 2 .x - 3\) là một tam thức bậc hai
\(h\left( 1 \right) = - {1^2} + \sqrt 2 .1 - 3 = \sqrt 2 - 4 < 0\) nên \(h\left( x \right)\) âm tại \(x = 1\)
Thực hành 2
Tìm biệt thức và nghiệm của các tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 5x + 2\)
b) \(g\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 9\)
c) \(h\left( x \right) = 4{x^2} - 4x + 9\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\)
Bước 2: Xét dấu của \(\Delta \)
Bước 3: Tìm nghiệm
+) Nếu \(\Delta > 0 \Rightarrow {x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
+) Nếu \(\Delta = 0 \Rightarrow {x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}\)
+) Nếu \(\Delta = 0\)thì tam thức bậc hai vô nghiệm
Lời giải chi tiết:
a) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 5x + 2\) có \(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.2 = 9\)
\(\Delta > 0\), do đó \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt là
\({x_1} = \frac{{5 + \sqrt 9 }}{4} = 2\) và \({x_1} = \frac{{5 - \sqrt 9 }}{4} = \frac{1}{2}\)
b) Tam thức bậc hai \(g\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 9\) có \(\Delta = {6^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 9} \right) = 0\)
\(\Delta = 0\), do đó \(g\left( x \right)\)có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - 6}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 3\)
c) Tam thức bậc hai \(h\left( x \right) = 4{x^2} - 4x + 9\) có \(\Delta = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.4.9 = - 128\)
\(\Delta < 0\), do đó \(h\left( x \right)\) vô nghiệm
