Lý thuyết Giải tam giác và ứng dụng thực tế

166 lượt xem

Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc chưa biết của tam giác.

1. Định lí cosin

Trong tam giác ABC:

$\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\end{array}$

Hệ quả

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$

2. Định lí sin

Trong tam giác ABC: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.$

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

Hệ quả

$a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C$

$\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.$

3. Các công thức tính diện tích tam giác

1) $S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}$

2) $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$

3) $S = \frac{{abc}}{{4R}}$

4) $S = pr = \frac{{(a + b + c).r}}{2}$

5) $S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}$ (Công thức Heron)