HĐ Khám phá 2
Quan sát đồ thị của các hàm số bậc hai trong các hình thức dưới đây. Trong mỗi trường hợp, hãy cho biết:
+) Các nghiệm (nếu có) và dấu của biệt thức Δ
+) Các khoảng giá trị của xmà trên đó f(x) cùng dấu với hệ số của x2
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định nghiệm của hàm số là giao của đồ thị và trục hoành
Bước 2: Xác định biệt thức Δ=b2−4ac và xác định dấu của nó
Bước 3: Dựa vào đồ thị xác định dấu của f(x)
+) Phần đồ thị nằm trên trục hoành là f(x)>0
+) Phần đồ thị nằm dưới trục hoành là f(x)<0
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho vô nghiệm
Biệt thức Δ=22−4.(−1).(−2)=−4<0
Ta thấy hệ số của x2 là −1<0
Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi x
Nên f(x) cùng dấu với hệ số của x2 với ∀x∈R
b) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có nghiệm kép x1=x2=1
Biệt thức Δ=22−4.(−1).(−1)=0
Ta thấy hệ số của x2 là −1<0
Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi x
Nên f(x) cùng dấu với hệ số của x2 với ∀x∈R
c) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có hai nghiệm phân biệt x1=−1;x2=3
Biệt thức Δ=22−4.(−1).3=16>0
Ta thấy hệ số của x2 là −1<0
Đồ thị nằm dưới trục hoành khi x∈(−∞,−1)∪(3,+∞)
Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi x∈(−1,3)
Nên f(x) cùng dấu với hệ số của x2 khi x∈(−∞,−1)∪(3,+∞)
d) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số bậc hai đã cho vô nghiệm
Biệt thức Δ=62−4.1.10=−4<0
Ta thấy hệ số của x2 là 1>0
Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi x
Nên f(x) cùng dấu với hệ số của x2 với mọi x∈R
e) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có nghiệm kép x1=x2=−3
Biệt thức Δ=62−4.1.9=0
Ta thấy hệ số của x2 là 1>0
Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi x
Nên f(x) cùng dấu với hệ số của x2 với mọi x∈R
g) ) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có hai nghiệm phân biệt x1=−4;x2=−2
Biệt thức Δ=62−4.1.8=4>0
Ta thấy hệ số của x2 là 1>0
Đồ thị nằm trên trục hoành khi x∈(−∞,−4)∪(−2,+∞)
Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi x∈(−4,−2)
Nên f(x) cùng dấu với hệ số của x2 khi x∈(−∞,−4)∪(−2,+∞)
Thực hành 3
Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
a) f(x)=2x2−3x−2
b) g(x)=−x2+2x−3
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức Δ=b2−4ac
Bước 2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có) x=−b±√b2−4ac2a
Bước 3: Xác định dấu của hệ số a
Bước 4: Xác định dấu của f(x)
Lời giải chi tiết:
a) f(x)=2x2−3x−2 có Δ=25>0, hai nghiệm phân biệt là x1=−12;x2=2
và a=2>0
Ta có bảng xét dấu như sau:
Vậy f(x) âm trong khoảng (−12,2) và dương trong hai khoảng
(−∞,−12) và (2,+∞)
b) g(x)=−x2+2x−3 có Δ=22−4.(−1).(−3)=−8<0 và a=−1<0
Vậy g(x)âm với mọi x∈R
Vận dụng
Xét dấu tam thức bậc hai h(x)=−0,006x2+1,2x−30 trong bài toán khởi động và cho biết ở khoảng cách nào tính từ đầu cầu O thì vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức Δ=b2−4ac
Bước 2: Xác định nghiệm của h(x) (nếu có) x=−b±√b2−4ac2a
Bước 3: Xác định dấu của hệ số a
Bước 4: Xác định dấu của h(x)
Lời giải chi tiết:
h(x)=−0,006x2+1,2x−30 có Δ=1,22−4.(−0,006).(−30)=1825>0, hai nghiệm phân biệt là x1=100−50√2;x2=100+50√2 và a=−0,006<0
Ta có bảng xét dấu h(x) như sau:
Vậy vòm cầu cao hơn mặt cầu là khoảng cách từ 100−50√2(m) đến 100+50√2 (m) (cách từ O), vòm vòm cầu thấp hơn mặt cầu là khoảng cách từ O đến100−50√2(m) và từ 100+50√2 (m) đến 200 (m) (cách từ O)
