Các bài toán về mặt cầu và đường thẳng

Bước 1: Gọi điểm \(I\) thỏa mãn \(\vec A + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \vec 0\), điểm \(J\) thỏa mãn \(\overrightarrow {JD}  + \overrightarrow {JE}  = \vec 0\). Biểu diễn P theo \(|\overrightarrow {MI} |\) và \(|\overrightarrow {MJ} |\)

\((S)\) có tâm \(T(0;1;0)\) và bán kính \(R = 1\).

Gọi điểm \(I\) thỏa mãn \(\vec A + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \vec 0\)\( \Rightarrow I(0;0;0)\)

Điểm \(J\) thỏa mãn \(\overrightarrow {JD}  + \overrightarrow {JE}  = \vec 0\)\( \Rightarrow J(0;2;0)\)

Ta có: \(P = 2|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} |\)\( + 3|\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME} |\)

\( = 2|3\overrightarrow {MI} | + 3|2\overrightarrow {MJ} |\)\( = 6|\overrightarrow {MI} | + 6|\overrightarrow {MJ} |\)

Bước 2: Gọi \(F\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {FI}  + \overrightarrow {FJ}  = \vec 0\). Tìm max\(P\).

Gọi \(F\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {FI}  + \overrightarrow {FJ}  = \vec 0\)\( \Rightarrow F(0;1;0) \equiv T\).

\(\left. {P \le \sqrt {72\left( {|\overrightarrow {MI} {|^2} + |\overrightarrow {MJ} {|^2}} \right.} } \right)\)\( = \sqrt {72\left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + {{\overrightarrow {MJ} }^2}} \right)} \)\( = \sqrt {72\left( {F{I^2} + F{J^2} + 2M{F^2}} \right)} \)

Như vậy \({\rm{P}}\) lớn nhất khi $M F$ lớn nhất. \({\rm{M}}\) thuộc \((S)\) nên $M F$ lớn nhất khi \(MF = R = 1\). Vậy \(P \le \sqrt {72(1 + 1 + 2)}  = 12\sqrt 2 \).

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$ và vuông góc với $d$ là :

\(2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 2} \right) - 1\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - z + 3 = 0\).

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $\left( P \right)$. Khi đó : \(H = d \cap \left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 2 + t\\z =  - 3 - t\\2x + y - z + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\x =  - 3\\y = 1\\z =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow H( - 3;1; - 2)\)

\(R = AH = \sqrt {{{\left( { - 3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 3} \right)}^2}}  = 5\sqrt 2 \).

Vì mặt cầu tiếp xúc với trục \(Oy:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\) nên mặt cầu có bán kính \(R = d\left( {I;Oy} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {OI}  = \left( {1; - 2;3} \right),\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow j } \right] = \left( { - 3;0;1} \right)\) nên \(R = d\left( {I;Oy} \right)\)\( = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OI} ;\overrightarrow j } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow j } \right|}} = \sqrt {10} \)

Phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 10\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 4 = 0\)

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\) có tâm \(I\left( {0;0;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 5 \).

Do \(A\left( {a;b;c} \right) \in Oxy \Rightarrow c = 0 \Rightarrow A\left( {x;y;0} \right)\).

Để từ A kẻ được ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau đến mặt cầu \(\left( S \right)\) thì \(R \le IA \le R\sqrt 2 \).

\( \Leftrightarrow \sqrt 5  \le \sqrt {{x^2} + {y^2} + {1^2}}  \le \sqrt {10} \)\( \Leftrightarrow 4 \le {x^2} + {y^2} \le 9\), do đó tập hợp các điểm A là hình vành khăn (tính cả biên) giữa hai đường tròn \({x^2} + {y^2} = 4\) và \({x^2} + {y^2} = 9\).

Ta có \(4 \le {x^2} + {y^2} \le 9\). Mà \(x,\,\,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow {x^2} \le 9 \Rightarrow x \in \left\{ {0; \pm 1; \pm 2; \pm 3} \right\}\).

Ta có bảng giá trị:

Vậy có 20 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 50\) có tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {50}  = 5\sqrt 2 \).

Đường thẳng \(d\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) khi và chỉ khi \(d\left( {I;d} \right) = R\).

Thử lần lượt các đáp án ta có:

\(d\left( {I;Ox} \right) = \sqrt {y_I^2 + z_I^2}  = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}}  = \sqrt {13}  \ne R\), do đó loại đáp án B.

\(d\left( {I;Oy} \right) = \sqrt {x_I^2 + z_I^2}  = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10}  \ne R\), do đó loại đáp án C.

\(d\left( {I;Oz} \right) = \sqrt {x_I^2 + y_I^2}  = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5  \ne R\), do đó loại đáp án D.

Phương trình trục \(Oz:\ \ \left\{ \begin{align} & x=0 \\ & y=0 \\ & z=t \\ \end{align} \right.,\ \ \overrightarrow{{{u}_{Oz}}}=\left( 0;\ 1;\ 1 \right).\)

Ta có : \(\overrightarrow{OI}=\left( 3;\ 4;\ -2 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OI},\ \overrightarrow{{{u}_{Oz}}} \right]=\left( 4;-3;\ 0 \right).\)

Khoảng cách từ tâm \(I\,\,\xrightarrow{{}}\,\,Oz\) là \(d\left( I;\left( Oz \right) \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{OI},\ \overrightarrow{{{u}_{Oz}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{Oz}}} \right|}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5=R.\)

Vì \(\left( S \right)\) tiếp xúc với trục \(Oz\)\(\Rightarrow \) Phương trình cần tìm là \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=25.\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 2;-5;1 \right)\)  bán kính \(R=\sqrt{4+25+1+6}=6\)

Giao tuyến của hai mặt phẳng \(y=m\) và \(x+z-3=0\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}
y = m\\
x + z - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = m\\
z = 3 - t
\end{array} \right.\,\,\left( d \right) \)

\(\Rightarrow \) Đường thẳng (d) đi qua \(M\left( 0;m;3 \right)\) và có 1 VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( 1;0;-1 \right)\)

Ta có:

$\begin{array}{l}
\overrightarrow {IM} = \left( { - 2;m + 5;2} \right),\overrightarrow u = \left( {1;0; - 1} \right)\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}
m + 5\,\,\,\,\,2\\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1
\end{array} \right|,\left| \begin{array}{l}
2\,\,\,\,\,\, - 2\\
- 1\,\,\,\,\,\,\,1
\end{array} \right|,\left| \begin{array}{l}
- 2\,\,\,\,m + 5\\
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0
\end{array} \right|} \right)\\
= \left( { - m - 5;0; - m - 5} \right)\\
\Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right| = \sqrt {{{\left( { - m - 5} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - m - 5} \right)}^2}} \\
= \sqrt {{{\left( {m + 5} \right)}^2} + {{\left( {m + 5} \right)}^2}} = \sqrt {2{{\left( {m + 5} \right)}^2}} = \left| {m + 5} \right|\sqrt 2
\end{array}$

Đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\Leftrightarrow d\left( I;d \right)=R\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 5} \right|\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m + 5 = 6\\
m + 5 = - 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = - 11
\end{array} \right.\)

Ta có \(E{{F}_{\max }}\Leftrightarrow d{{\left( I;\left( d \right) \right)}_{\min }}=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{I{{M}_{0}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}{{\ }_{\min }}\) (trong đó điểm \({{M}_{0}}\left( 1;-1;m \right)\))

Ta có: \(d\left( I;\left( d \right) \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{I{{M}_{0}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}\ =\frac{\sqrt{{{\left( m+2 \right)}^{2}}+{{\left( m-2 \right)}^{2}}+4}}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{\sqrt{2{{m}^{2}}+12}}{\sqrt{6}}\)

Vì \(2{{m}^{2}}\ge 0\) suy ra \(d\left( I;\left( d \right) \right)\le \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{6}}=\sqrt{2}\Rightarrow \,\,{{d}_{\min }}=\sqrt{2}<R=3\) khi \(m=0.\)

Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 0;-2;0 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{5}\).

Dễ thấy \(I\notin \Delta \).

Ta có: \({{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=\left( 2;1;-3 \right),\,\,M\left( 1;-m;2m \right)\in \Delta ,\,\,\overrightarrow{IM}=\left( 1;2-m;2m \right)\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow \left[ \overrightarrow{IM};{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \right]=\left( m-6;4m+3;2m-3 \right) \\  & \Rightarrow d\left( I;\Delta  \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{IM};{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \right] \right|}{\left| {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \right|}=\frac{\sqrt{21{{m}^{2}}+54}}{\sqrt{14}} \\ \end{align}\)

Để AB lớn nhất \(\Leftrightarrow d{{\left( I;\Delta  \right)}_{\min }}\Leftrightarrow {{\left( 21{{m}^{2}}+54 \right)}_{\min }}\Leftrightarrow m=0\)

Phương trình trục \(Oz:\ \ \left\{ \begin{align} & x=0 \\ & y=0 \\ & z=t \\ \end{align} \right.,\ \ \overrightarrow{{{u}_{Oz}}}=\left( 0;\ 0;\ 1 \right).\)

Ta có : \(\overrightarrow{OI}=\left( 3;\ 4;\ -2 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OI},\ \overrightarrow{{{u}_{Oz}}} \right]=\left( 4;-3;\ 0 \right).\)

Khoảng cách từ tâm \(I\,\,\xrightarrow{{}}\,\,Oz\) là \(d\left( I;\left( Oz \right) \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{OI},\ \overrightarrow{{{u}_{Oz}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{Oz}}} \right|}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5=R.\)

Vì \(\left( S \right)\) tiếp xúc với trục \(Oz\)\(\Rightarrow \) Phương trình cần tìm là \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=25.\)

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\)

Gọi tâm \(I \in \Delta \)\( \Rightarrow I\left( {3 + 2t;1 - t;1 - 2t} \right)\)

Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha }_{1}} \right)\) và \(\left( {{\alpha _2}} \right)\) nên \(d\left( I,\left( {{\alpha }_{1}} \right) \right)\)\(=d\left( I,\left( {{\alpha }_{2}} \right) \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2\left( {3 + 2t} \right) + 2\left( {1 - t} \right) + 1 - 2t - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^1}} }}\)\( = \frac{{\left| {3 + 2t - 2\left( {1 - t} \right) + 2\left( {1 - 2t} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^1}} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| 3 \right|}}{3} = \frac{{\left| 3 \right|}}{3}\) (luôn đúng).

Vậy có vô số mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt phẳng.

Tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại A và B vuông góc với nhau khi và chỉ khi OACB là hình vuông \( \Rightarrow AB = R\sqrt 2  = 5\sqrt 2 \).

Xét \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=6\) có tâm \(I\left( 1;2;-\,1 \right),\) bán kính \(R=\sqrt{6}.\)

Gọi \(M\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) sao cho \(MAIB\) đồng phẳng.

Ta có \(\cos \widehat{AMB}=\cos \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)}=\frac{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}}.{{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}} \right|.\left| {{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right|}=\frac{1}{2}\Rightarrow \,\,\widehat{AMB}={{60}^{0}}\Rightarrow \,\,\widehat{AIB}={{120}^{0}}.\)

Tam giác \(IAB\) cân tại \(I,\) có \(AB=\sqrt{I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-2.IA.IB.\cos \widehat{AIB}}=3\sqrt{2}.\)

Phương trình trục \(Oz:\ \left\{ \begin{align} & x=0 \\ & y=0 \\ & z=t \\ \end{align} \right..\ \ \ A\in Oz\Rightarrow A\left( 0;\ 0;\ t \right).\)

Có \(\left( P \right)\cap Oz=\left\{ A \right\}\Rightarrow 2.0+6.0+t-3=0\Leftrightarrow t=3\Rightarrow A\left( 0;\ 0;\ 3 \right).\) \(d:\ \left\{ \begin{align} & x=5+t' \\ & y=2t' \\ & z=6-t' \\ \end{align} \right..\ \ B\in d\Rightarrow B\left( 5+t';2t';6-t' \right).\) Có \(\left( P \right)\cap d=\left\{ B \right\}\Rightarrow 2\left( 5+t' \right)+6.2t'+6-t'-3=0\Leftrightarrow t'=-1\Rightarrow B\left( 4;-2;7 \right).\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\Rightarrow I\left( 2;\ -1;\ 5 \right).\)

Có \(\overrightarrow{AB}=\left( 4;-2;\ 4 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{36}=6\Rightarrow IA=R=\frac{AB}{2}=3.\)

Vậy đường tròn đường kính AB là: \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=9.\)

Gọi E là hình chiếu của I trên Oy \(\Rightarrow E\left( 0;-2;0 \right)\)

Suy ra bán kính mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:

\(R=IE\)\(=\sqrt{{{\left( 1-0 \right)}^{2}}+{{\left( -2+2 \right)}^{2}}+{{\left( 3-0 \right)}^{2}}}\)\(=\sqrt{10}\)

Vậy phương trình mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với trục Oy là:\(\ {{(x-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=10.\)

Mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right)\) có tâm \({{I}_{1}}\left( 1;1;0 \right)\), mặt cầu \(\left( {{S}_{2}} \right)\) có tâm \({{I}_{2}}\left( 4;-1;-1 \right)\).

Dễ thấy điểm \(M\left( 1;1;1 \right)\) thuộc cả hai mặt cầu \(\Rightarrow M\in \left( P \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).

Mặt phẳng (P) chứa (C) vuông góc với \({{I}_{1}}{{I}_{2}}\) và đi qua M. Do đó phương trình mặt phẳng (P) là:

\(3\left( x-1 \right)-2\left( y-1 \right)-\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 3x-2y-z=0\).

Gọi K là tâm của mặt cầu cần tìm ta có \(K\in \left( P \right)\). Gọi A’; B’; C’ lần lượt là hình chiếu của K trên AB, BC, CA ta có \(KA'=KB'=KC'\).

Gọi K’ là hình chiếu của K trên (ABC) ta  chứng minh được \(K'A\bot AB;\,\,K'B\bot BC;\,\,K'C\bot CA\) và \(K'A'=K'B'=K'C'\Rightarrow K'\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Mà tam giác ABC đều \(\Rightarrow K'\) là trọng tâm của tam giác ABC \(\Rightarrow K'\left( 2;2;2 \right)\).

Phương trình mặt phẳng (ABC): \(\frac{x}{6}+\frac{y}{6}+\frac{z}{6}=1\Leftrightarrow x+y+z=6\).

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua K’ và vuông góc với (ABC) là: \(d:\,\,\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}\Rightarrow K\in d\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow K=\left( P \right)\cap d\Rightarrow K\left( t+2;t+2;t+2 \right)\)

Thay vào phương tình mặt phẳng (P) \(\Rightarrow 3\left( t+2 \right)-2\left( t+2 \right)-\left( t+2 \right)=0\Rightarrow \) Phương trình có vô số nghiệm.

Vậy có vô số điểm K thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\((S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+4y-2z+5=0\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=9\)

\(\Rightarrow \left( S \right)\) có tâm \(I(3;-2;1)\), bán kính \(R=3\).

\((Q)\) cắt \((S)\) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính \(r=2\)

Ta có:  \({{d}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow {{d}^{2}}+{{2}^{2}}={{3}^{2}}\Leftrightarrow d=\sqrt{5}\)

Gọi \(\overrightarrow{n}(a;b;c),\,\,\,\left( \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0} \right)\) là một VTPT của (Q). Khi đó \(\overrightarrow{n}\) vuông góc với VTCP \(\overrightarrow{u}(1;0;0)\)của Ox  \(\Rightarrow 1.a+0.b+0.c=0\Leftrightarrow a=0\)

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua O(0;0;0) và có VTPT \(\overrightarrow{n}(0;b;c),\,\,\,\left( \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0} \right)\) là:

\(0.(x-0)+b(y-0)+c(z-0)=0\Leftrightarrow by+cz=0\)

Khoảng cách từ tâm I đến (Q):

\(d=\frac{\left| b.(-2)+c.1 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{5}\Rightarrow {{\left( 2b-c \right)}^{2}}=5({{b}^{2}}+{{c}^{2}})\Leftrightarrow {{b}^{2}}+4bc+4{{c}^{2}}=0\Leftrightarrow {{(b+2c)}^{2}}=0\Leftrightarrow b=-2c\)

Cho \(c=-1\Rightarrow b=2\Rightarrow \overrightarrow{n}(0;2;-1)\). Phương trình mặt phẳng (Q): \(2y-z=0\).

Hình vẽ tham khảo

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 4;3;-2 \right)\) và bán kính \(R=5\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) thì \(IH\bot AB\) và \(IH=3\) nên \(H\) thuộc mặt cầu \(\left( {{S}'} \right)\) tâm \(I\) bán kính \({R}'=3\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \({A}'{B}'\) thì \(A{A}'+B{B}'=2HM\), \(M\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Mặt khác ta có \(d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{4}{\sqrt{3}}<R\) nên \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) và \(\sin \left( d;\left( P \right) \right)=\sin \alpha =\frac{5}{3\sqrt{3}}\). Gọi \(K\) là hình chiếu của \(H\) lên \(\left( P \right)\) thì \(HK=HM.\sin \alpha \). Vậy để \(A{A}'+B{B}'\) lớn nhất thì \(HK\) lớn nhất

\(\Leftrightarrow HK\) đi qua \(I\) nên \(H{{K}_{\max }}={R}'+d\left( I;\left( P \right) \right)=3+\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\).

Vậy \(A{A}'+B{B}'\) lớn nhất bằng \(2\left( \frac{4+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right).\frac{3\sqrt{3}}{5}=\frac{24+18\sqrt{3}}{5}\).

Xét mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9\) có tâm \(I\left( 1;2;2 \right),\) bán kính \(R=3.\)

Ta có \(MI=NI=3\sqrt{5}>3=R\)\(\Rightarrow \,\,M,\,\,N\) nằm bên ngoài khối cầu \(\left( S \right).\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(MN\)\(\Rightarrow \,\,H\left( 5;-\,2;4 \right)\) và \(E{{H}^{2}}=\frac{E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}}}{2}-\frac{M{{N}^{2}}}{4}.\)

Lại có \({{\left( EM+EN \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}} \right)=2\left( E{{H}^{2}}+\frac{M{{N}^{2}}}{4} \right)\).

Để \({{\left\{ EM+EN \right\}}_{\max }}\Leftrightarrow E{{H}_{\max }}\)

Khi và chỉ khi \(E\) là giao điểm của \(IH\) và mặt cầu \(\left( S \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại \(E\Rightarrow \,\,{{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=a.\overrightarrow{EI}=b.\overrightarrow{IH}=b.\left( 4;-\,4;2 \right).\)

Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D, \({{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;-2;1 \right)=\frac{1}{2}\left( 4;-4;2 \right)\)

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là \(2x-2y+z+9=0.\)

Bước 1: Gọi \(A\) là hình chiếu của \(I\) lên trục Ox. Tìm A và bán kính mặt cầu

Gọi \(A\) là hình chiếu của \(I\) lên trục \(Ox \Rightarrow A( - 1;0;0)\).

Vì điểm \(A\) nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là

\(R = IA = \sqrt {{0^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 3)}^2}}  = \sqrt {13} \)

Bước 2: Viết phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(I( - 1;2; - 3)\) và bán kính \(R = \sqrt {13} \) là

\({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 13\)