Các bài toán về mặt cầu và đường thẳng

Bước 1: Gọi điểm $I$ thỏa mãn $\vec A + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \vec 0$, điểm $J$ thỏa mãn $\overrightarrow {JD}  + \overrightarrow {JE}  = \vec 0$. Biểu diễn P theo $|\overrightarrow {MI} |$ và $|\overrightarrow {MJ} |$

$(S)$ có tâm $T(0;1;0)$ và bán kính $R = 1$.

Gọi điểm $I$ thỏa mãn $\vec A + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \vec 0$$\Rightarrow I(0;0;0)$

Điểm $J$ thỏa mãn $\overrightarrow {JD}  + \overrightarrow {JE}  = \vec 0$$\Rightarrow J(0;2;0)$

Ta có: $P = 2|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} |$$+ 3|\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME} |$

$= 2|3\overrightarrow {MI} | + 3|2\overrightarrow {MJ} |$$= 6|\overrightarrow {MI} | + 6|\overrightarrow {MJ} |$

Bước 2: Gọi $F$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {FI}  + \overrightarrow {FJ}  = \vec 0$. Tìm max$P$.

Gọi $F$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {FI}  + \overrightarrow {FJ}  = \vec 0$$\Rightarrow F(0;1;0) \equiv T$.

$\left. {P \le \sqrt {72\left( {|\overrightarrow {MI} {|^2} + |\overrightarrow {MJ} {|^2}} \right.} } \right)$$= \sqrt {72\left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + {{\overrightarrow {MJ} }^2}} \right)}$$= \sqrt {72\left( {F{I^2} + F{J^2} + 2M{F^2}} \right)}$

Như vậy ${\rm{P}}$ lớn nhất khi $M F$ lớn nhất. ${\rm{M}}$ thuộc $(S)$ nên $M F$ lớn nhất khi $MF = R = 1$. Vậy $P \le \sqrt {72(1 + 1 + 2)}  = 12\sqrt 2$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$ và vuông góc với $d$ là :

$2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 2} \right) - 1\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - z + 3 = 0$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $\left( P \right)$. Khi đó : $H = d \cap \left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 2 + t\\z =  - 3 - t\\2x + y - z + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\x =  - 3\\y = 1\\z =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow H( - 3;1; - 2)$

$R = AH = \sqrt {{{\left( { - 3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 3} \right)}^2}}  = 5\sqrt 2$.

Vì mặt cầu tiếp xúc với trục $Oy:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 0\end{array} \right.$ nên mặt cầu có bán kính $R = d\left( {I;Oy} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {OI}  = \left( {1; - 2;3} \right),\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow j } \right] = \left( { - 3;0;1} \right)$ nên $R = d\left( {I;Oy} \right)$$= \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OI} ;\overrightarrow j } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow j } \right|}} = \sqrt {10}$

Phương trình mặt cầu là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 10$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 4 = 0$

Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5$ có tâm $I\left( {0;0;1} \right)$, bán kính $R = \sqrt 5$.

Do $A\left( {a;b;c} \right) \in Oxy \Rightarrow c = 0 \Rightarrow A\left( {x;y;0} \right)$.

Để từ A kẻ được ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau đến mặt cầu $\left( S \right)$ thì $R \le IA \le R\sqrt 2$.

$\Leftrightarrow \sqrt 5  \le \sqrt {{x^2} + {y^2} + {1^2}}  \le \sqrt {10}$$\Leftrightarrow 4 \le {x^2} + {y^2} \le 9$, do đó tập hợp các điểm A là hình vành khăn (tính cả biên) giữa hai đường tròn ${x^2} + {y^2} = 4$ và ${x^2} + {y^2} = 9$.

Ta có $4 \le {x^2} + {y^2} \le 9$. Mà $x,\,\,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow {x^2} \le 9 \Rightarrow x \in \left\{ {0; \pm 1; \pm 2; \pm 3} \right\}$.

Ta có bảng giá trị:

Vậy có 20 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Mặt cầu $\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 50$ có tâm $I\left( {1; - 2;3} \right)$, bán kính $R = \sqrt {50}  = 5\sqrt 2$.

Đường thẳng $d$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ khi và chỉ khi $d\left( {I;d} \right) = R$.

Thử lần lượt các đáp án ta có:

$d\left( {I;Ox} \right) = \sqrt {y_I^2 + z_I^2}  = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}}  = \sqrt {13}  \ne R$, do đó loại đáp án B.

$d\left( {I;Oy} \right) = \sqrt {x_I^2 + z_I^2}  = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10}  \ne R$, do đó loại đáp án C.

$d\left( {I;Oz} \right) = \sqrt {x_I^2 + y_I^2}  = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5  \ne R$, do đó loại đáp án D.

Phương trình trục $Oz:\ \ \left\{ \begin{align} & x=0 \\ & y=0 \\ & z=t \\ \end{align} \right.,\ \ \overrightarrow{{{u}_{Oz}}}=\left( 0;\ 1;\ 1 \right).$

Ta có : $\overrightarrow{OI}=\left( 3;\ 4;\ -2 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OI},\ \overrightarrow{{{u}_{Oz}}} \right]=\left( 4;-3;\ 0 \right).$

Khoảng cách từ tâm $I\,\,\xrightarrow{{}}\,\,Oz$ là $d\left( I;\left( Oz \right) \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{OI},\ \overrightarrow{{{u}_{Oz}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{Oz}}} \right|}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5=R.$

Vì $\left( S \right)$ tiếp xúc với trục $Oz$$\Rightarrow$ Phương trình cần tìm là $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=25.$

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;-5;1 \right)$  bán kính $R=\sqrt{4+25+1+6}=6$

Giao tuyến của hai mặt phẳng $y=m$ và $x+z-3=0$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} y = m\\ x + z - 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = m\\ z = 3 - t \end{array} \right.\,\,\left( d \right)$

$\Rightarrow$ Đường thẳng (d) đi qua $M\left( 0;m;3 \right)$ và có 1 VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 1;0;-1 \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {IM} = \left( { - 2;m + 5;2} \right),\overrightarrow u = \left( {1;0; - 1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l} m + 5\,\,\,\,\,2\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1 \end{array} \right|,\left| \begin{array}{l} 2\,\,\,\,\,\, - 2\\ - 1\,\,\,\,\,\,\,1 \end{array} \right|,\left| \begin{array}{l} - 2\,\,\,\,m + 5\\ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \end{array} \right|} \right)\\ = \left( { - m - 5;0; - m - 5} \right)\\ \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right| = \sqrt {{{\left( { - m - 5} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - m - 5} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {m + 5} \right)}^2} + {{\left( {m + 5} \right)}^2}} = \sqrt {2{{\left( {m + 5} \right)}^2}} = \left| {m + 5} \right|\sqrt 2 \end{array}$

Đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)\Leftrightarrow d\left( I;d \right)=R$

$\Rightarrow \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 5} \right|\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m + 5 = 6\\ m + 5 = - 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = - 11 \end{array} \right.$

Ta có $E{{F}_{\max }}\Leftrightarrow d{{\left( I;\left( d \right) \right)}_{\min }}=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{I{{M}_{0}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}{{\ }_{\min }}$ (trong đó điểm ${{M}_{0}}\left( 1;-1;m \right)$)

Ta có: $d\left( I;\left( d \right) \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{I{{M}_{0}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}\ =\frac{\sqrt{{{\left( m+2 \right)}^{2}}+{{\left( m-2 \right)}^{2}}+4}}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{\sqrt{2{{m}^{2}}+12}}{\sqrt{6}}$

Vì $2{{m}^{2}}\ge 0$ suy ra $d\left( I;\left( d \right) \right)\le \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{6}}=\sqrt{2}\Rightarrow \,\,{{d}_{\min }}=\sqrt{2}<R=3$ khi $m=0.$

Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 0;-2;0 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{5}$.

Dễ thấy $I\notin \Delta$.

Ta có: ${{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=\left( 2;1;-3 \right),\,\,M\left( 1;-m;2m \right)\in \Delta ,\,\,\overrightarrow{IM}=\left( 1;2-m;2m \right)$

$\begin{align}  & \Rightarrow \left[ \overrightarrow{IM};{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \right]=\left( m-6;4m+3;2m-3 \right) \\  & \Rightarrow d\left( I;\Delta  \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{IM};{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \right] \right|}{\left| {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \right|}=\frac{\sqrt{21{{m}^{2}}+54}}{\sqrt{14}} \\ \end{align}$

Để AB lớn nhất $\Leftrightarrow d{{\left( I;\Delta  \right)}_{\min }}\Leftrightarrow {{\left( 21{{m}^{2}}+54 \right)}_{\min }}\Leftrightarrow m=0$

Phương trình trục $Oz:\ \ \left\{ \begin{align} & x=0 \\ & y=0 \\ & z=t \\ \end{align} \right.,\ \ \overrightarrow{{{u}_{Oz}}}=\left( 0;\ 0;\ 1 \right).$

Ta có : $\overrightarrow{OI}=\left( 3;\ 4;\ -2 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OI},\ \overrightarrow{{{u}_{Oz}}} \right]=\left( 4;-3;\ 0 \right).$

Khoảng cách từ tâm $I\,\,\xrightarrow{{}}\,\,Oz$ là $d\left( I;\left( Oz \right) \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{OI},\ \overrightarrow{{{u}_{Oz}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{Oz}}} \right|}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5=R.$

Vì $\left( S \right)$ tiếp xúc với trục $Oz$$\Rightarrow$ Phương trình cần tìm là $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=25.$

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.$

Gọi tâm $I \in \Delta$$\Rightarrow I\left( {3 + 2t;1 - t;1 - 2t} \right)$

Vì mặt cầu $\left( S \right)$ đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng $\left( {{\alpha }_{1}} \right)$ và $\left( {{\alpha _2}} \right)$ nên $d\left( I,\left( {{\alpha }_{1}} \right) \right)$$=d\left( I,\left( {{\alpha }_{2}} \right) \right)$

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {2\left( {3 + 2t} \right) + 2\left( {1 - t} \right) + 1 - 2t - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^1}} }}$$= \frac{{\left| {3 + 2t - 2\left( {1 - t} \right) + 2\left( {1 - 2t} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^1}} }}$$\Leftrightarrow \frac{{\left| 3 \right|}}{3} = \frac{{\left| 3 \right|}}{3}$ (luôn đúng).

Vậy có vô số mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt phẳng.

Tiếp diện của $\left( S \right)$ tại A và B vuông góc với nhau khi và chỉ khi OACB là hình vuông $\Rightarrow AB = R\sqrt 2  = 5\sqrt 2$.

Xét $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=6$ có tâm $I\left( 1;2;-\,1 \right),$ bán kính $R=\sqrt{6}.$

Gọi $M$ là giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ sao cho $MAIB$ đồng phẳng.

Ta có $\cos \widehat{AMB}=\cos \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)}=\frac{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}}.{{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}} \right|.\left| {{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right|}=\frac{1}{2}\Rightarrow \,\,\widehat{AMB}={{60}^{0}}\Rightarrow \,\,\widehat{AIB}={{120}^{0}}.$

Tam giác $IAB$ cân tại $I,$ có $AB=\sqrt{I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-2.IA.IB.\cos \widehat{AIB}}=3\sqrt{2}.$

Phương trình trục $Oz:\ \left\{ \begin{align} & x=0 \\ & y=0 \\ & z=t \\ \end{align} \right..\ \ \ A\in Oz\Rightarrow A\left( 0;\ 0;\ t \right).$

Có $\left( P \right)\cap Oz=\left\{ A \right\}\Rightarrow 2.0+6.0+t-3=0\Leftrightarrow t=3\Rightarrow A\left( 0;\ 0;\ 3 \right).$ $d:\ \left\{ \begin{align} & x=5+t' \\ & y=2t' \\ & z=6-t' \\ \end{align} \right..\ \ B\in d\Rightarrow B\left( 5+t';2t';6-t' \right).$ Có $\left( P \right)\cap d=\left\{ B \right\}\Rightarrow 2\left( 5+t' \right)+6.2t'+6-t'-3=0\Leftrightarrow t'=-1\Rightarrow B\left( 4;-2;7 \right).$

Gọi $I$ là trung điểm của $AB\Rightarrow I\left( 2;\ -1;\ 5 \right).$

Có $\overrightarrow{AB}=\left( 4;-2;\ 4 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{36}=6\Rightarrow IA=R=\frac{AB}{2}=3.$

Vậy đường tròn đường kính AB là: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=9.$

Gọi E là hình chiếu của I trên Oy $\Rightarrow E\left( 0;-2;0 \right)$

Suy ra bán kính mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:

$R=IE$$=\sqrt{{{\left( 1-0 \right)}^{2}}+{{\left( -2+2 \right)}^{2}}+{{\left( 3-0 \right)}^{2}}}$$=\sqrt{10}$

Vậy phương trình mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với trục Oy là:$\ {{(x-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=10.$

Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 1;1;0 \right)$, mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 4;-1;-1 \right)$.

Dễ thấy điểm $M\left( 1;1;1 \right)$ thuộc cả hai mặt cầu $\Rightarrow M\in \left( P \right)\,\,\,\left( 1 \right)$.

Mặt phẳng (P) chứa (C) vuông góc với ${{I}_{1}}{{I}_{2}}$ và đi qua M. Do đó phương trình mặt phẳng (P) là:

$3\left( x-1 \right)-2\left( y-1 \right)-\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 3x-2y-z=0$.

Gọi K là tâm của mặt cầu cần tìm ta có $K\in \left( P \right)$. Gọi A’; B’; C’ lần lượt là hình chiếu của K trên AB, BC, CA ta có $KA'=KB'=KC'$.

Gọi K’ là hình chiếu của K trên (ABC) ta  chứng minh được $K'A\bot AB;\,\,K'B\bot BC;\,\,K'C\bot CA$ và $K'A'=K'B'=K'C'\Rightarrow K'$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Mà tam giác ABC đều $\Rightarrow K'$ là trọng tâm của tam giác ABC $\Rightarrow K'\left( 2;2;2 \right)$.

Phương trình mặt phẳng (ABC): $\frac{x}{6}+\frac{y}{6}+\frac{z}{6}=1\Leftrightarrow x+y+z=6$.

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng đi qua K’ và vuông góc với (ABC) là: $d:\,\,\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}\Rightarrow K\in d\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow K=\left( P \right)\cap d\Rightarrow K\left( t+2;t+2;t+2 \right)$

Thay vào phương tình mặt phẳng (P) $\Rightarrow 3\left( t+2 \right)-2\left( t+2 \right)-\left( t+2 \right)=0\Rightarrow$ Phương trình có vô số nghiệm.

Vậy có vô số điểm K thỏa mãn yêu cầu bài toán.

$(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+4y-2z+5=0\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=9$

$\Rightarrow \left( S \right)$ có tâm $I(3;-2;1)$, bán kính $R=3$.

$(Q)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn bán kính $r=2$

Ta có:  ${{d}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow {{d}^{2}}+{{2}^{2}}={{3}^{2}}\Leftrightarrow d=\sqrt{5}$

Gọi $\overrightarrow{n}(a;b;c),\,\,\,\left( \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0} \right)$ là một VTPT của (Q). Khi đó $\overrightarrow{n}$ vuông góc với VTCP $\overrightarrow{u}(1;0;0)$của Ox  $\Rightarrow 1.a+0.b+0.c=0\Leftrightarrow a=0$

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua O(0;0;0) và có VTPT $\overrightarrow{n}(0;b;c),\,\,\,\left( \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0} \right)$ là:

$0.(x-0)+b(y-0)+c(z-0)=0\Leftrightarrow by+cz=0$

Khoảng cách từ tâm I đến (Q):

$d=\frac{\left| b.(-2)+c.1 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{5}\Rightarrow {{\left( 2b-c \right)}^{2}}=5({{b}^{2}}+{{c}^{2}})\Leftrightarrow {{b}^{2}}+4bc+4{{c}^{2}}=0\Leftrightarrow {{(b+2c)}^{2}}=0\Leftrightarrow b=-2c$

Cho $c=-1\Rightarrow b=2\Rightarrow \overrightarrow{n}(0;2;-1)$. Phương trình mặt phẳng (Q): $2y-z=0$.

Hình vẽ tham khảo

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 4;3;-2 \right)$ và bán kính $R=5$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ thì $IH\bot AB$ và $IH=3$ nên $H$ thuộc mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ tâm $I$ bán kính ${R}'=3$.

Gọi $M$ là trung điểm của ${A}'{B}'$ thì $A{A}'+B{B}'=2HM$, $M$ nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$.

Mặt khác ta có $d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{4}{\sqrt{3}}<R$ nên $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ và $\sin \left( d;\left( P \right) \right)=\sin \alpha =\frac{5}{3\sqrt{3}}$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $\left( P \right)$ thì $HK=HM.\sin \alpha$. Vậy để $A{A}'+B{B}'$ lớn nhất thì $HK$ lớn nhất

$\Leftrightarrow HK$ đi qua $I$ nên $H{{K}_{\max }}={R}'+d\left( I;\left( P \right) \right)=3+\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$.

Vậy $A{A}'+B{B}'$ lớn nhất bằng $2\left( \frac{4+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right).\frac{3\sqrt{3}}{5}=\frac{24+18\sqrt{3}}{5}$.

Xét mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$ có tâm $I\left( 1;2;2 \right),$ bán kính $R=3.$

Ta có $MI=NI=3\sqrt{5}>3=R$$\Rightarrow \,\,M,\,\,N$ nằm bên ngoài khối cầu $\left( S \right).$

Gọi $H$ là trung điểm của $MN$$\Rightarrow \,\,H\left( 5;-\,2;4 \right)$ và $E{{H}^{2}}=\frac{E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}}}{2}-\frac{M{{N}^{2}}}{4}.$

Lại có ${{\left( EM+EN \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}} \right)=2\left( E{{H}^{2}}+\frac{M{{N}^{2}}}{4} \right)$.

Để ${{\left\{ EM+EN \right\}}_{\max }}\Leftrightarrow E{{H}_{\max }}$

Khi và chỉ khi $E$ là giao điểm của $IH$ và mặt cầu $\left( S \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $E\Rightarrow \,\,{{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=a.\overrightarrow{EI}=b.\overrightarrow{IH}=b.\left( 4;-\,4;2 \right).$

Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D, ${{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;-2;1 \right)=\frac{1}{2}\left( 4;-4;2 \right)$

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $2x-2y+z+9=0.$

Bước 1: Gọi $A$ là hình chiếu của $I$ lên trục Ox. Tìm A và bán kính mặt cầu

Gọi $A$ là hình chiếu của $I$ lên trục $Ox \Rightarrow A( - 1;0;0)$.

Vì điểm $A$ nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là

$R = IA = \sqrt {{0^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 3)}^2}}  = \sqrt {13}$

Bước 2: Viết phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I( - 1;2; - 3)$ và bán kính $R = \sqrt {13}$ là

${(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 13$