Một viên gạch hoa hình vuông cạnh \(40\)cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Với $A\left( {20;20} \right)$, xét hình phẳng ở góc phân tư thứ nhất.
Hai Parabol có phương trình lần lượt là: $y = a{x^2}\,\,\left( {{P_1}} \right)$ và $x = a{y^2}\,\,\left( {{P_2}} \right)$
Do Parabol \(\left( {{P_1}} \right)\) qua điểm $A\left( {20;20} \right) \Rightarrow a = \dfrac{{20}}{{{{20}^2}}} = \dfrac{1}{{20}} \Rightarrow y = \dfrac{{{x^2}}}{{20}}$
Do Parabol \(\left( {{P_2}} \right)\) qua điểm $A\left( {20;20} \right) \Rightarrow a = \dfrac{{20}}{{{{20}^2}}} = \dfrac{1}{{20}} \Rightarrow x = \dfrac{{{y^2}}}{{20}} \Leftrightarrow y = \sqrt {20x} $
Diện tích phân tô đậm ở góc phần tư thứ nhất là:
$S = \int\limits_0^{20} {\left( {\sqrt {20x} - \dfrac{{{x^2}}}{{20}}} \right)dx} = \left( {\dfrac{2}{3}\sqrt {20{x^3}} - \dfrac{{{x^3}}}{{60}}} \right)\left| \begin{array}{l}^{20}\\_0\end{array} \right. = \dfrac{{400}}{3}.$
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R},\) \(f(0) = 0\) và \(f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x\cos x,\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Giá trị của tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {xf'(x)dx} \) bằng
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\{\rm{d}}v = f'\left( x \right)\,{\rm{d}}x\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\v = f\left( x \right)\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.f'\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = \left. {x.f\left( x \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} .$
Ta có $\left. {x.f\left( x \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \dfrac{\pi }{2}.f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right),$ thay $x = \dfrac{\pi }{2}$ vào giả thiết, ta được $f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) + f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0.$
Lại có $f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x \Leftrightarrow \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\,{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x.\cos x\,{\rm{d}}x} $
Đặt \(t = \dfrac{\pi }{2} - x\,\)\(\, \Rightarrow \,\,\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)\,{\text{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\,{\text{d}}x} \,\, \Rightarrow \,\,\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)\,{\text{d}}x} = \dfrac{1}{4}.\)
Vậy $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x.f'\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = - \dfrac{1}{4}.$
Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \({\left( {f'(x)} \right)^2} + f(x).f''(x) = 15{x^4} + 12x,\,\,\forall x \in R\) và \(f(0) = f'(0) = 1.\) Giá trị của \({f^2}(1)\) bằng
Ta có $\left[ {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right]' = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right) = 15{x^4} + 12x$
Nguyên hàm 2 vế ta được $f\left( x \right).f'\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + C$
Do $f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1$
Tiếp tục nguyên hàm 2 vế ta được: $\int {f\left( x \right)df\left( x \right)} = \int {\left( {3{x^5} + 6{x^2} + 1} \right)dx} $
$ \Rightarrow \dfrac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \dfrac{{3{x^6}}}{6} + \dfrac{{6{x^3}}}{3} + x + D $ $= \dfrac{1}{2}{x^6} + 2{x^3} + x + D$.
Do $f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow D = \dfrac{1}{2}$ $ \Rightarrow \dfrac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \dfrac{1}{2}{x^6} + 2{x^3} + x + \dfrac{1}{2} $ $\Rightarrow {f^2}\left( 1 \right) = 8$
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ và \(f(0) + f(1) = 0.\) Biết \(\int\limits_0^1 {{f^2}(x)dx = \dfrac{1}{2},\,\,\int\limits_0^1 {f'(x)\cos \pi xdx = \dfrac{\pi }{2}} } .\) Tính \(\int\limits_0^1 {f(x)dx.} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos \pi x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - \pi \sin \pi xdx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)
Ta có $\int\limits_0^1 {f'\left( x \right).\cos \pi x\,{\rm{d}}x} = \left. {f\left( x \right).\cos \pi x} \right|_0^1 + \pi \int\limits_0^1 {f\left( x \right).\sin \pi x\,{\rm{d}}x} $
$ = - \,\left[ {f\left( 1 \right) + f\left( 0 \right)} \right] + \pi \,\int\limits_0^1 {f\left( x \right).\sin \pi x\,{\rm{d}}x} = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right).\sin \pi x\,{\rm{d}}x} = \dfrac{1}{2}.$
Xét $\int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right) + k.\sin \pi x} \right]}^{\,2}}\,{\rm{d}}x} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)\,{\rm{d}}x} + 2k.\int\limits_0^1 {f\left( x \right).\sin \pi x\,{\rm{d}}x} + {k^2}.\int\limits_0^1 {{{\sin }^2}\left( {\pi x} \right)\,{\rm{d}}x} = 0$
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{k^2} + 2k.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {k + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow k = - \,1.$ Suy ra $\int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right) - \sin \pi x} \right]}^{\,2}}\,{\rm{d}}x} = 0.$
Vậy $f\left( x \right) = \sin \pi x \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\sin \pi x\,{\rm{d}}x} = \left. { - \dfrac{{\cos \pi x}}{x}} \right|_0^1 = \dfrac{1}{\pi } + \dfrac{1}{\pi } = \dfrac{2}{\pi }.$
Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số \(\dfrac{{AB}}{{CD}}\) bằng :
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ :
Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là \(y = - \dfrac{1}{2}{x^2} + 18\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành là \(S = \int\limits_{ - 6}^6 {\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2} + 18} \right)dx} = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{6} + 18x} \right)} \right|_{ - 6}^6 = 144.\)
Gọi \({x_A} = a \Rightarrow {y_A} = - \dfrac{1}{2}{a^2} + 18\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng AB : \(y = - \dfrac{1}{2}{a^2} + 18\)
và \({x_C} = c \Rightarrow {y_c} = - \dfrac{1}{2}{c^2} + 18\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng CD : \(y = - \dfrac{1}{2}{c^2} + 18\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng AB là:
$\begin{array}{l}{S_1} = \int\limits_{ - a}^a {\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2} + 18 + \dfrac{1}{2}{a^2} - 18} \right)dx} = \int\limits_{ - a}^a {\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}{a^2}} \right)dx} = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{{a^2}}}{2}x} \right)} \right|_{ - a}^a = - \dfrac{{{a^3}}}{6} + \dfrac{{{a^3}}}{2} - \left( {\dfrac{{{a^3}}}{6} - \dfrac{{{a^3}}}{2}} \right) = \dfrac{{2{a^3}}}{3}.\\{S_1} = \dfrac{1}{3}S \Rightarrow \dfrac{2}{3}{a^3} = \dfrac{1}{3}.144 = 48 \Rightarrow a = 2\sqrt[3]{9} \Rightarrow AB = 2a = 4\sqrt[3]{9}.\end{array}$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng CD là:
$\begin{array}{l}{S_2} = \int\limits_{ - c}^c {\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2} + 18 + \dfrac{1}{2}{c^2} - 18} \right)dx} = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{{c^2}}}{2}x} \right)} \right|_{ - c}^c = - \dfrac{{{c^3}}}{6} + \dfrac{{{c^3}}}{2} - \left( {\dfrac{{{c^3}}}{6} - \dfrac{{{c^3}}}{2}} \right) = \dfrac{{2{c^3}}}{3}.\\{S_1} = \dfrac{2}{3}S \Rightarrow \dfrac{2}{3}{c^3} = \dfrac{2}{3}.144 = 96 \Rightarrow c = 2\sqrt[3]{{18}} \Rightarrow CD = 2c = 4\sqrt[3]{{18}}\\ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\end{array}$
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 4\) và \(f\left( x \right) = xf'\left( x \right) - 2{x^3} - 3{x^2}\). Tính giá trị \(f\left( 2 \right)\).
$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,f\left( x \right) = xf'\left( x \right) - 2{x^3} - 3{x^2} \Leftrightarrow xf'\left( x \right) - f\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} \Leftrightarrow \dfrac{{xf'\left( x \right) - f\left( x \right)}}{{{x^2}}} = 2x + 3\\ \Leftrightarrow \left[ {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}} \right]' = 2x + 3 \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {\left[ {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}} \right]'dx} = \int\limits_1^2 {\left( {2x + 3} \right)dx} = 6\\ \Leftrightarrow \left. {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}} \right|_1^2 = 6 \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( 2 \right)}}{2} - \dfrac{{f\left( 1 \right)}}{1} = 6 \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( 2 \right)}}{2} = f\left( 1 \right) + 6 = 10 \Leftrightarrow f\left( 2 \right) = 20\end{array}$
Cho \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;a} \right]\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right).f\left( {a - x} \right) = 1}\\{f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left[ {0;a} \right]}\end{array}} \right.\) và \(\int\limits_0^a {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{1 + f\left( x \right)}}} = \dfrac{{ba}}{c},\) trong đó \(b\), \(c\) là hai số nguyên dương và \(\dfrac{b}{c}\) là phân số tối giản. Khi đó \(b + c\) có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
Đặt \(t = a - x \Rightarrow dt = - dx\)
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = a;x = a \Rightarrow t = 0.\)
Lúc đó \(I = \int\limits_0^a {\dfrac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} = \int\limits_a^0 {\dfrac{{ - dt}}{{1 + f\left( {a - t} \right)}}} \) \( = \int\limits_0^a {\dfrac{{dx}}{{1 + f\left( {a - x} \right)}} = \int\limits_0^a {\dfrac{{dx}}{{1 + \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}}}} } \) \( = \int\limits_0^a {\dfrac{{f\left( x \right)dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} \)
Suy ra \(2I = I + I = \int\limits_0^a {\dfrac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}} + \int\limits_0^a {\dfrac{{f\left( x \right)dx}}{{1 + f\left( x \right)}} = \int\limits_0^a {1dx} } = a} \)
Do đó \(I = \dfrac{1}{2}a \Rightarrow b = 1;c = 2 \Rightarrow b + c = 3.\)
Sân trường THPT Chuyên Hà Giang có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích \(S_1,S_3\) dùng để trồng hoa, phần diện tích \(S_2,S_4\) dùng để trồng cỏ (Diện tích được làm tròn đến hàng phần trăm). Biết kinh phí trồng hoa là \(150.000\) đồng/ \(m^2\), kinh phí trồng cỏ là \(100.000\) đồng/ \(m^2\). Hỏi cả trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn).
Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, do ABCD là hình vuông cạnh 4m nên ta có \(A\left( { - 2;2} \right);B\left( {2;2} \right),C\left( {2; - 2} \right);D\left( { - 2; - 2} \right)\), từ đó ta dễ dàng viết được phương trình đường tròn là \({x^2} + {y^2} = 8\) và phương trình 2 parabol là \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) và \(y = - \dfrac{1}{2}{x^2}\).
Ta có: S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường tròn \({x^2} + {y^2} = 8\) và parabol (P): \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}\)
\({S_1} = \int\limits_0^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - \dfrac{1}{2}{x^2}} \right)dx} \) \(\Rightarrow {S_1} + {S_3} = 4\int\limits_0^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - \dfrac{1}{2}{x^2}} \right)dx} = 15,23\left( {{m^2}} \right)\)
\({S_2} + {S_4} = \pi {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - \left( {{S_1} + {S_3}} \right) = 9,90\left( {{m^2}} \right)\)
\( \Rightarrow \) Chi phí để trồng bồn hoa đó là: \(15,23.150 + 9,90.100 \approx 3270\) (nghìn đồng).
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc $v$ (km/h) phụ thuộc vào thời gian $t\,$(h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(1;1) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát.
Gọi phương trình của đường parabol (P) cần tìm là : $y = a{x^2} + bx + c,a \ne 0$
Parabol đi qua điểm $\left( {0;2} \right) \Rightarrow 2 = a{.0^2} + b.0 + c \Rightarrow c = 2$ .
Parabol có đỉnh $I\left( {1;1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} = 1\\a{.1^2} + b.1 + 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + 2a = 0\\a + b = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right.$
Vậy $(P):\,\,y = {x^2} - 2x + 2$ .
Quãng đường vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát:
$s = \int\limits_0^4 {v(t)dt} = \int\limits_0^4 {({t^2} - 2t + 2)dt} = \left. {\left( {\dfrac{{{t^3}}}{3} - {t^2} + 2t} \right)} \right|_0^4 = \dfrac{{{4^3}}}{3} - {4^2} + 2.4 = \dfrac{{40}}{3}$
Biết rằng $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}\,{\rm{d}}x} = \dfrac{{a{e^2} + be - 12}}{{8{{\left( {e + 2} \right)}^2}}}$ với $a,\,\,b$ là các số nguyên dương. Hiệu $b - a$ bằng
Ta có $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}\,{\rm{d}}x} = \int\limits_1^e {\dfrac{{\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}.\dfrac{{\ln x + 1}}{x}}}{{{{\left( {\dfrac{{\ln x + 1}}{x} + 1} \right)}^3}}}\,{\rm{d}}x} $. Đặt $t = \dfrac{{\ln x + 1}}{x} \Leftrightarrow {\rm{d}}t = - \dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}\,{\rm{d}}x$ và $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = e \Rightarrow t = \dfrac{2}{e}\end{array} \right..$
Khi đó $I = - \,\int\limits_1^{\dfrac{2}{e}} {\dfrac{t}{{{{\left( {1 + t} \right)}^3}}}\,{\rm{d}}t} = - \,\int\limits_1^{\dfrac{2}{e}} {\left[ {\dfrac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^3}}}} \right]\,{\rm{d}}t} = \left. {\dfrac{{2t + 1}}{{2{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} \right|_1^{\dfrac{2}{e}} = \dfrac{{{e^2} + 4e - 12}}{{8{{\left( {e + 2} \right)}^2}}}.$
Do đó $a=1,b=4$ hay $b-a=3$.
