Thu gọn $z = {\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2}$ ta được:
Ta có: $z = {\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2} = 2 + 6\sqrt 2 i + 9{i^2} = - 7 + 6\sqrt 2 i$
Phần thực của số phức $z$ thỏa mãn: ${\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z$ là:
Ta có: ${\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 + 2i + {i^2}} \right)\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z\\ \Leftrightarrow \left( {2 + 4i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z\\ \Leftrightarrow \left( {1 + 2i} \right)z = 8 + i\end{array}$
\( \Rightarrow \) $z = \dfrac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \dfrac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} $ $= \dfrac{{10 - 15i}}{{{1^2} + {2^2}}} = 2 - 3i$
Phần thực của số phức $z$ là $2$.
Trong các kết luận sau, kết luận nào sai:
Giả sử \(z = a + bi (a, b \in R)\) \( \Rightarrow \) $\overline z = a - bi$
Ta có: $z + \overline z = a + bi + a - bi = 2a$ là một số thực \( \Rightarrow \) A đúng
$z - \overline z = a + bi - a + bi = 2bi$ là một số ảo \( \Rightarrow \) B đúng
$z.\overline z = (a + bi).(a - bi) = {a^2} + {b^2}$ là một số thực \( \Rightarrow \) C đúng
${z^2} + {\overline z ^2} = {(a + bi)^2} + {(a - bi)^2} = 2{a^2} - 2{b^2}$ là một số thực \( \Rightarrow \) D sai
Cho hai số phức ${z_1} = 1 + 2i;$${z_2} = 2 - 3i$. Xác định phần ảo của số phức $3{z_1}-2{z_2}$
Ta có: \({z_1} = 1 + 2i;\)\({z_2} = 2 - 3i\)\( \Rightarrow 3{z_1}--2{z_2} = 3\left( {1 + 2i} \right) - 2\left( {2 - 3i} \right)\) \( = 3 + 6i - 4 + 6i = - 1 + 12i\)
Vậy phần ảo của số phức đó là \(12\).
Điểm biểu diễn của số phức z là $M(1;2)$. Tọa độ của điểm biểu diễn số phức ${\rm{w}} = z - 2\overline z $ là
Điểm biểu diễn của số phức z là $M(1;2) \Rightarrow z = 1 + 2i$
${\rm{w}} = z - 2\overline z = \left( {1 + 2i} \right) - 2\left( {1 - 2i} \right) = - 1 + 6i$
$ \Rightarrow $ Điểm biểu diễn của số phức ${\rm{w}} = z - 2\overline z $ là \((-1; 6).\)
Gọi ${z_1},\,\,{z_2}$ lần lượt là hai nghiệm của phương trình ${z^2} - 4z + 5 = 0$ với \({z_1}\) có phần ảo dương. Giá trị của biểu thức $P = \left( {{z_1} - 2{z_2}} \right).\overline {{z_2}} - 4{z_1}$ bằng
${z^2} - 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow {z_{1,2}} = 2 \pm i \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = {\left| {{z_2}} \right|^2} = {2^2} + {1^2} = 5$
$\begin{array}{l}P = \left( {{z_1} - 2{z_2}} \right).\overline {{z_2}} - 4{z_1}\\P = \left( {2 + i - 2\left( {2 - i} \right)} \right).\left( {2 + i} \right) - 4\left( {2 + i} \right)\\P = \left( { - 2 + 3i} \right)\left( {2 + i} \right) - 4\left( {2 + i} \right)\\P = - 7 + 4i - 8 - 4i = - 15\end{array}$
Tìm số phức liên hợp của số phức $z = 3 + 2i$.
Số phức liên hợp của số phức $z = 3 + 2i$ là $\overline z = 3 - 2i$.
Cho số phức z thỏa mãn $\left| {z + 3 - 4i} \right| = 5$. Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn đó.
Giả sử $z = x + yi,\,\,\left( {x,y \in R} \right)$
Theo đề bài ta có: $\left| {z + 3 - 4i} \right| = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{(x + 3)}^2} + {{(y - 4)}^2}} = 5 \Leftrightarrow {(x + 3)^2} + {(y - 4)^2} = 25$
Vậy, tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm $I( - 3;4),\,R = 5$.
Tổng phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn $iz + (1 - i)\overline z = - 2i$ bằng
Đặt $z = a + bi,\,\left( {a,b \in R} \right)$.
$\begin{array}{l}iz + (1 - i)\overline z = - 2i \Leftrightarrow i(a + bi) + (1 - i)(a - bi) = - 2i \Leftrightarrow ai - b + a - bi - ai - b = - 2i\\ \Leftrightarrow - bi + a - 2b = - 2i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - b = - 2\\a - 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 4\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 6\end{array}$
Tổng của phần thực và phần ảo là 6.
Trong hình vẽ bên, điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z.\) Số phức \(\overline z \) là:
Ta có \(M\left( {2;\;1} \right)\) biểu diễn số phức \(z \Rightarrow z = 2 + i \Rightarrow \overline z = 2 - i.\)
Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là \(1 + 2i?\)
+) Xét phương trình: \({z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow {z^2} - 2z + 1 + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} = - 2 \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} = 2{i^2}\)
\( \Leftrightarrow \left| {z - 1} \right| = \sqrt 2 i \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 = \sqrt 2 i\\z - 1 = - \sqrt 2 i\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + \sqrt 2 i\\z = 1 - \sqrt 2 i\end{array} \right. \Rightarrow \) loại đáp án A.
+) Xét phương trình: \({z^2} + 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow {z^2} + 2z + 4 + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + 2} \right)^2} = - 1 = {i^2}\)
\( \Leftrightarrow \left| {z + 2} \right| = i \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + 2 = i\\z + 2 = - i\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - 2 + i\\z = - 2 - i\end{array} \right. \Rightarrow \) loại đáp án B.
+) Xét phương trình: \({z^2} - 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow {z^2} - 2z + 1 + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} = - 4 = - 4{i^2}\)
\( \Leftrightarrow \left| {z - 1} \right| = 2i \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 = 2i\\z - 1 = - 2i\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right. \Rightarrow \) chọn đáp án C.
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left( {1 + i} \right)z + \left( {2 - i} \right)\overline z = 13 + 2i\)?
Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a;b \in R} \right) \Rightarrow \overline z = a - bi\), khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) + \left( {2 - i} \right)\left( {a - bi} \right) = 13 + 2i\\ \Leftrightarrow a - b + \left( {a + b} \right)i + 2a - b - \left( {a + 2b} \right)i = 13 + 2i\\ \Leftrightarrow 3a - 2b - bi = 13 + 2i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 2b = 13\\ - b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow z = 3 - 2i\end{array}\)
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(z\left( {1 + i} \right) = 3 - 5i\). Tính môđun của \(z\).
Ta có \(z\left( {1 + i} \right) = 3 - 5i \Leftrightarrow z = \dfrac{{3 - 5i}}{{1 + i}} = \dfrac{{\left( {3 - 5i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{1 - {i^2}}} = - 1 - 4i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {17} .\)
Điểm \(M\) trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức \(z\).
Tìm phần thực và phần ảo cú số phức \(z\).
Từ hình vẽ, ta có \(M\left( {3;4} \right)\) nên \(z = 3 + 4i\). Vậy phần thực bằng \(3\) và phần ảo bằng \(4\).
Phương trình: $8{z^2} - 4z + 1 = 0$ có nghiệm là:
Phương trình: $8{z^2} - 4z + 1 = 0$
Có: $\Delta ' = 4 - 8 = - 4 = 4{i^2}$
\( \Rightarrow \) Phương trình có $2$ nghiệm là: ${z_1} = \dfrac{{2 + 2i}}{8} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}i;{z_2} = \dfrac{{2 - 2i}}{8} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4}i$
Các nghiệm ${z_1} = \dfrac{{ - 1 - 5i\sqrt 5 }}{3};{z_2} = \dfrac{{ - 1 + 5i\sqrt 5 }}{3}$ là nghiệm của phương trình nào sau đây:
Ta có: ${z_1} + {z_2} = \dfrac{{ - 1 - 5i\sqrt 5 }}{3} + \dfrac{{ - 1 + 5i\sqrt 5 }}{3} = \dfrac{{ - 2}}{3}$
${z_1}.{z_2} = \dfrac{{ - 1 - 5i\sqrt 5 }}{3}.\dfrac{{ - 1 + 5i\sqrt 5 }}{3} = \dfrac{{126}}{9} = \dfrac{{42}}{3}$
$ \Rightarrow {z_1};{z_2}$ là các nghiệm của phương trình: ${z^2} + \dfrac{2}{3}z + \dfrac{{42}}{3} = 0 \Leftrightarrow 3{z^2} + 2z + 42 = 0$
Trong $C$, cho phương trình $a{z^2} + bz + c = 0(a \ne 0)(*)$. Gọi $\Delta = {b^2} - 4ac$, ta xét các mệnh đề sau:
1) Nếu \(\Delta \) là số thực âm thì phương trình (*) vô nghiệm
2) Nếu \(\Delta \ne 0\) thì phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt
3) Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình (*) có $1$ nghiệm kép
Trong các mệnh đề trên
) Sai vì nếu \(\Delta < 0\) thì $\sqrt \Delta = \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} $ do đó phương trình có $2$ nghiệm phức
2) Đúng
3) Đúng
Vậy có $2$ mệnh đề đúng
Giả sử ${z_1};{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình: ${z^2} - 2z + 5 = 0$ và $A,B$ là các điểm biểu diễn của ${z_1};{z_2}$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là:
Phương trình: ${z^2}-2z + 5 = 0$
Có: $\Delta ' = 1 - 5 = - 4 = 4{i^2}$
$ \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {4{i^2}} = 2i$
\( \Rightarrow \) Phương trình có $2$ nghiệm là: ${z_1} = 1 + 2i;{z_2} = 1 - 2i$
Khi đó: $A\left( {1;2} \right),B(1; - 2)$
Tọa độ trung điểm đoạn thẳng $AB$ là: $\left( {1;0} \right)$
Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(|z| = 5\) và \(z = \bar z\).
Giả sử số phức cần tìm là \(z = a + bi\).
Từ điều kiện \(z = \bar z\) ta có \(a + bi = a - bi \Leftrightarrow b = 0\)
Từ điều kiện \(|z| = 5 \Rightarrow a = \pm 5\)
Tìm số điểm biểu diễn cho số phức $z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện: \(|z + 4| = 3|z|\) và $z$ là thuần ảo?
Vì $z$ là thuần ảo nên \(a = 0 \Rightarrow z = bi\). Từ điều kiện \(|z + 4| = 3|z|\) có
\(\left| {bi + 4} \right| = 3\left| {bi} \right| \Leftrightarrow {b^2} + {4^2} = 9{b^2} \Leftrightarrow 8{b^2} = 16 \Leftrightarrow {b^2} = 2 \Leftrightarrow b = \pm \sqrt 2 \)
Mỗi một số phức $z$ chỉ có $1$ điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức.
