Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ

Công thức tịnh tiến hệ tọa độ: $\left\{ \begin{gathered}x = X + {x_0} \hfill \\y = Y + {y_0} \hfill \\ \end{gathered}  \right.$.

Áp dụng công thức tịnh tiến hệ tọa độ $\left\{ \begin{gathered}x = X + {x_0} \hfill \\y = Y + {y_0} \hfill \\ \end{gathered}  \right.$ ta có: $Y + {y_0} = f\left( {X + {x_0}} \right)$ là phương trình đường cong trong hệ tọa độ mới.

Nếu hàm số $Y = g\left( X \right)$ là hàm số lẻ (trong hệ tọa độ mới $IXY$) thì điểm $I\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ trong hệ tọa độ $Oxy$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$.

Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận điểm $\left( {0;0} \right)$ làm tâm đối xứng.

Đáp án A: Đồ thị hàm số lẻ nhận $\left( {0;0} \right)$ làm tâm đối xứng (đúng)

Đáp án B: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số luôn thuộc đồ thị hàm số (sai, ví dụ hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ có tâm đối xứng là $\left( {0;0} \right)$ không thuộc đồ thị hàm số).

Đáp án C: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có thể không nằm trên đồ thị hàm số đó (đúng).

Đáp án D: Đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng thuộc đồ thị hàm số (đúng)

Áp dụng công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow {OI}$: $\left\{ \begin{gathered}  x = X + {x_0} \hfill \\y = Y + {y_0} \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Với $\left\{ \begin{gathered} {x_0} =  - 1 \hfill \\{y_0} = 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$ ta được: $\left\{ \begin{gathered} x = X - 1 \hfill \\y = Y + 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$.

Điểm $I\left( { - 4;2} \right)$ nên công thức chuyển hệ tọa độ $\left\{ \begin{gathered}x = X - 4 \hfill \\y = Y + 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}X = x + 4 \hfill \\ Y = y - 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Do đó $y - 2 = f\left( {x + 4} \right) \Rightarrow y = f\left( {x + 4} \right) + 2$.

Áp dụng công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow {OI}$: $\left\{ \begin{gathered}x = X + 0 \hfill \\y = Y + 4 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Ta có phương trình của $\left( C \right)$ trong hệ tọa độ $\left( {IXY} \right)$ là:$Y + 4 =  - {\left( {X + 0} \right)^2} + 3\left( {X + 0} \right) \Leftrightarrow Y =  - {X^2} + 3X - 4$.

Vậy $Y =  - {X^2} + 3X - 4$.

Công thức chuyển hệ tọa độ $\left\{ \begin{gathered}  x = X + {x_0} \hfill \\ y = Y + {x_0} \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}X = x - {x_0} = x + 2 \hfill \\  Y = y - {y_0} = y \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Do đó, phương trình của $\left( C \right)$ trong hệ tọa độ $\left( {Oxy} \right)$ là: $y = \dfrac{3}{{x + 2}}$.

Ta có: xét điểm $I\left( { - 1;4} \right)$, ta sẽ chứng minh $I$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $\left( C \right)$.

Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow {OI} :\left\{ \begin{gathered} x = X + {x_0} = X - 1 \hfill \\  y = Y + {y_0} = Y + 4 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$ .

Phương trình $\left( C \right)$ trong hệ tọa độ $\left( {IXY} \right)$ là $Y + 4 = \dfrac{{4\left( {X - 1} \right) - 1}}{{X - 1 + 1}} = \dfrac{{4X - 5}}{X} = 4 - \dfrac{5}{X} \Leftrightarrow Y =  - \dfrac{5}{X}$

Vì $Y\left( { - X} \right) =  - \dfrac{5}{{ - X}} = \dfrac{5}{X} =  - Y\left( X \right)$ nên hàm số $Y =  - \dfrac{5}{X}$ là hàm số lẻ nên điểm $I\left( { - 1;4} \right)$ là tâm đối xứng của $\left( C \right)$.

Đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là $\left( { - 3;1} \right)$ nên loại.

Đồ thị hàm số  (2) có tâm đối xứng là $\left( {2; - 3} \right)$ nên đúng.

Đồ thị hàm số  (3) có tâm đối xứng là $\left( {2; - 3} \right)$ nên đúng.

Đồ thị hàm số  (4) có tâm đối xứng là $\left( { - 2; - 3} \right)$ nên loại.

Đồ thị hàm số  (5) có tâm đối xứng là $\left( {2; - \dfrac{1}{3}} \right)$ nên loại.

Ta có: $y' = 3{x^2} - 12x;y'' = 6x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y =  - 17$.

Công thức chuyển hệ tọa độ $\left\{ \begin{gathered} x = X + 2 \hfill \\y = Y - 17 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$.

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ mới:

$Y - 17 = {\left( {X + 2} \right)^3} - 6{\left( {X + 2} \right)^2} - 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow Y - 17 = {X^3} + 6{X^2} + 12X + 8 - 6{X^2} - 24X - 24 - 1\\ \Leftrightarrow Y = {X^3} - 12X \end{array}$

Dễ thấy $Y\left( { - X} \right) =  {\left( { - X} \right)^3}-12(-X) = -{X^3} +12X$

$=-(X^3-12X)=  - Y\left( X \right)$

nên hàm số $Y ={X^3} - 12X$ là hàm số lẻ.

Vậy $I\left( {2; - 17} \right)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $y' = 6{x^2} + 1;y'' = 12x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y =  - 3$.

Do đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho là $\left( {0; - 3} \right)$.

Đáp án A: $x = 0 \Rightarrow y =  - 1 \ne  - 3$ nên loại.

Đáp án B: $x = 0 \Rightarrow y = 0 \ne  - 3$ nên loại.

Đáp án C: $x = 0 \Rightarrow y =  - 3$ nên thỏa mãn.

Đáp án D: $x = 0 \Rightarrow y =  - 2 \ne  - 3$ nên loại.