Phương trình logarit và một số phương pháp giải

Phương trình tương đương với:

$3 - x = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{11}}{4}$

Vậy $x = \dfrac{{11}}{4}$.

Điều kiện: $x + 4 > 0 \Leftrightarrow x >  - 4$.

${\log _2}(x + 4) = 3 \Leftrightarrow x + 4 = {2^3} \Leftrightarrow x = 4$

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm $x = 4$.

${\log _3}\left( {2x} \right) = 2 \Leftrightarrow 2x = 9 \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{2}$.

Áp dụng bất đẳng thức ${(x + y)^2} \ge 4xy$, ta được

${\left( {{b^3}{c^3} + \dfrac{{bc}}{4}} \right)^2} \ge {b^4}{c^4}$

$\Rightarrow {\log _a}{\left( {{b^3}{c^3} + \dfrac{{bc}}{4}} \right)^2}$$\ge 4{\log _a}(bc)$

Do đó với $\forall a > 1,b,c > 0$                                       

$\log _a^2(bc) + {\log _a}{\left( {{b^3}{c^3} + \dfrac{{bc}}{4}} \right)^2}$$+ 4 + \sqrt {9 - {c^2}}  \ge \log _a^2(bc)$$+ 4{\log _a}(bc) + 4 + \sqrt {9 - {c^2}}$

$\Leftrightarrow \log _a^2(bc) + {\log _a}{\left( {{b^3}{c^3} + \dfrac{{bc}}{4}} \right)^2}$$+ 4 + \sqrt {9 - {c^2}}$$\ge {\left[ {{{\log }_a}(bc) + 2} \right]^2} + \sqrt {9 - {c^2}}  \ge 0$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}{b^3}{c^3} = \dfrac{{bc}}{4}\\{\log _a}\left( {bc} \right) =  - 2\\{c^2} = 9\\a > 1\\b > 0\\c > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 2 \\b = \dfrac{1}{6}\\c = 3\end{array} \right.$

Khi đó $T = a + 3b + 2c$$= \sqrt 2  + \dfrac{1}{2} + 6 \approx 7,91$

Vậy giá trị của T gần 8 nhất.

ĐKXĐ: $x > 0$.

Ta có: ${\log _2}\left( {3x} \right) = 3 \Leftrightarrow 3x = {2^3}$$\Leftrightarrow 3x = 8 \Leftrightarrow x = \dfrac{8}{3}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{8}{3}$.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _3}\left( {2x + 1} \right) = 1 + {\log _3}\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x + 1} \right) = {\log _3}3 + {\log _3}\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x + 1} \right) = {\log _3}\left[ {3\left( {x - 1} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 1 = 3x - 3\\3x - 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 4$.

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\4x - 1 > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x > \dfrac{1}{4}\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{4}\\m > 0\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}{\log _9}{x^2} - {\log _3}\left( {4x - 1} \right) =  - {\log _3}m\\ \Leftrightarrow {\log _3}x - {\log _3}\left( {4x - 1} \right) + {\log _3}m = 0\\ \Leftrightarrow {\log _3}\dfrac{{mx}}{{4x - 1}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{mx}}{{4x - 1}} = 1\\ \Leftrightarrow mx = 4x - 1\,\,\left( {Do\,\,4x - 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{4x - 1}}{x} = g\left( x \right)\,\,\forall x > \dfrac{1}{4}\,\,\left( * \right)\end{array}$

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm trên $\left( {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right)$ của đồ thị hàm số $y = g\left( x \right)$ và đường thẳng $y = m$ song song với trục hoành.

Xét hàm số $g\left( x \right) = \dfrac{{4x - 1}}{x} = 4 - \dfrac{1}{x}$ trên $\left( {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right)$ ta có $g'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right)$.

BBT:

Từ BBT ta thấy (*) có nghiệm $\Leftrightarrow m \in \left( {0;4} \right)\,\,\left( {tm\,\,DK\,\,m > 0} \right)$.

Kết hợp điều kiện $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3} \right\}$. Vậy có 3 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

$m{\ln ^2}\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2 - m} \right)\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0$

Điều kiện: $x >  - 1$

Ta có:

$\begin{array}{l}m{\ln ^2}\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2 - m} \right)\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow m{\ln ^2}\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right)\ln \left( {x + 1} \right) + m\ln \left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow m\ln \left( {x + 1} \right)\left[ {\ln \left( {x + 1} \right) + 1} \right] - \left( {x + 2} \right)\left[ {\ln \left( {x + 1} \right) + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\ln \left( {x + 1} \right) + 1} \right]\left[ {m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln \left( {x + 1} \right) + 1 = 0\\m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = {e^{ - 1}}\\m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {e^{ - 1}} - 1 < 0\,\,\,\left( L \right)\\m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}$

Với $m = 0$ thì phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm $x =  - 2 <  - 1\left( L \right)$ nên không thỏa bài toán.

Với $m \ne 0$ thì $\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{x + 2}} = \dfrac{1}{m}$.

Xét $f\left( x \right) = \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{x + 2}}$ có $f'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{{x + 2}}{{x + 1}} - \ln \left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} \in \left( {2;3} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{x + 2}} = 0$ nên ta có bảng biến thiên trên $\left( { - 1; + \infty } \right)$ như sau:

Để phương trình có nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa $0 < {x_1} < 2 < 4 < {x_2}$ thì $0 < \dfrac{1}{m} < \dfrac{{\ln 5}}{6} \Leftrightarrow m > \dfrac{6}{{\ln 5}} \approx 3,728$

Suy ra $a = \dfrac{6}{{\ln 5}} \in \left( {3,7;3,8} \right)$.

Điều kiện: ${x^2} - x + 2 > 0$ (luôn đúng với $\forall x$)

Khi đó phương trình tương đương ${x^2} - x + 2 = 2 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {0;1} \right\}$.

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{4^x} - m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ge {\log _4}m\,\,\left( {Do\,\,m > 0} \right)\end{array} \right.$.

$\begin{array}{l}\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{4^x} - m}  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\log _3^2x - {\log _3}x - 1 = 0\\{4^x} = m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x = 1\\{\log _3}x =  - \dfrac{1}{2}\\{4^x} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\{4^x} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\x = {\log _4}m\end{array} \right.\end{array}$

Biểu diễn các nghiệm trên trục số ta có:

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _4}m = 0\\\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \le {\log _4}m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\2,26 \le m < 64\end{array} \right.$.

Lại có $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {1;3;4;5;...;63} \right\}$. Vậy có 62 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

ĐKXĐ: $x > 0$

Ta có: ${\log _2}\left( {5x} \right) = 3 \Leftrightarrow 5x = {2^3} = 8 \Leftrightarrow x = \dfrac{8}{5}\,\left( {TMDK} \right)$

Ta có: ${\log _3}\left( {3x + 6} \right) = 4$

Điều kiện: $3x + 6 > 0$ $\Leftrightarrow x >  - 2.$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _3}\left( {3x + 6} \right) = 4\\ \Leftrightarrow 3x + 6 = {3^4}\\ \Leftrightarrow 3x + 6 = 81\\ \Leftrightarrow 3x = 75\\ \Leftrightarrow x = 25\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $x = 25.$

${\log _3}\left( {5x} \right) = 2 \Leftrightarrow 5x = {3^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{5}$.

ĐK : $x > 2;x \ne 4$

Ta có

 $\begin{array}{l}{\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 2} \right) + {\log _3}{\left( {x - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {x - 2} \right)^2} + {\log _3}{\left( {x - 4} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 4} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 1\,\,\,\,\\\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) =  - 1\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 6x + 7 = 0\\{x^2} - 6x + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt 2 \,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 3 - \sqrt 2 \,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tổng các nghiệm là $3 + 3 + \sqrt 2  = 6 + \sqrt 2 .$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 > 0\\2x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1$.

Với điều kiện này thì phương trình đã cho tương đương với

${x^2} - 1 = 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 2 {\rm{ }}\left( {TM} \right)\\x = 1 - \sqrt 2 {\rm{ }}\left( L \right)\end{array} \right.$.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ {1 + \sqrt 2 } \right\}$

Ta có : ${\log _3}\left( {{x^2} - 9} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 9 = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} = 18 \Leftrightarrow x =  \pm 3\sqrt 2$.

${\log _3}\left( {x + 5} \right) = 2 \Leftrightarrow x + 5 = 9 \Leftrightarrow x = 4$

ĐK: ${x^2} + mx - 2{m^2} > 0 \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {x + m} \right) + m\left( {x - m} \right) > 0 \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {x + 2m} \right) > 0$

Ta có $2{\log _4}\left( {2{x^2} - x + 2m - 4{m^2}} \right) + {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{x^2} + mx - 2{m^2}} \right) = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2{x^2} - x + 2m - 4{m^2}} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + mx - 2{m^2}} \right)\\ \Rightarrow 2{x^2} - x + 2m - 4{m^2} = {x^2} + mx - 2{m^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x - 2{m^2} + 2m = 0\,\,\left( * \right)\end{array}$

Xét $\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( { - 2{m^2} + 2m} \right) = 9{m^2} - 6m + 1 = {\left( {3m - 1} \right)^2}$

Vì phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ nên $\Delta  > 0 \Leftrightarrow {\left( {3m - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{3}\,\,\left( 1 \right)$

Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}.{x_2} =  - 2{m^2} + 2m\end{array} \right.$

Ta có

$\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 > 1 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} > 1\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( { - 2{m^2} + 2m} \right) > 1\\ \Leftrightarrow 5{m^2} - 2m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{2}{5}\\m < 0\end{array} \right.\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Lại có hai nghiệm của phương trình (*) là ${x_1} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = 2m;\,\,\,{x_2} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = 1 - m$

Thay vào điều kiện ban đầu $\left( {x - m} \right)\left( {x + 2m} \right) > 0$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}m.4m > 0\\\left( {1 - 2m} \right)\left( {1 + m} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 1 < m < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\left( 3 \right)$

Kết hợp (1); (2); (3) ta được $\left[ \begin{array}{l} - 1 < m < 0\\\dfrac{2}{5} < m < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

ĐKXĐ: $x > 0$.

Ta có: $\log _2^2x + {\log _2}x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 1\\{\log _2}x =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $2 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4}$.

Bước 1:

ĐK: $x>-\dfrac{2}{5}$

Bước 2:

Ta có:

      $\begin{array}{l}{\log _3}\left( {5x + 2} \right) = 3\\ \Leftrightarrow 5x + 2 = {3^3}\\ \Leftrightarrow 5x + 2 = 27\\ \Leftrightarrow 5x = 25\\ \Leftrightarrow x = 5\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 5.$