Bài toán tìm min, max liên quan đến số phức

Bước 1: Tìm quỹ tích điểm biểu diễn ${z_1},{z_2}$

Ta có:

$+ )\left| {{z_1} + 3} \right| + \left| {{z_1} - 3} \right| = 10$

$\Rightarrow c = 3,a = 5$$\Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}}  = 4$

$\Rightarrow$ tập hợp biểu diễn số phức ${z_1}$ là elip có phương trình $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\left( {{E_1}} \right)$.

+) $\left| {{z_2} + 4} \right| + \left| {{z_2} - 4} \right| = 10$

$\Rightarrow a = 5,c = 4 \Rightarrow b = 3$

$\Rightarrow$ Tập hợp biểu diễn số phức ${z_2}$ là Elip có phương trình $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\left( {{E_1}} \right)$.

Bước 2: Gọi $M$ là điểm biểu diễn ${z_1},N$ là điểm biểu diễn số phức ${z_2}$. Gọi $P = MN \cap \left( {{E_1}} \right)$. Tìm $\max \left| {{z_1} - {z_2}} \right|$

Đồ thị của $\left( {{E_1}} \right)$ và $\left( {{E_2}} \right)$:

Gọi $M$ là điểm biểu diễn ${z_1},N$ là điểm biểu diễn số phức ${z_2}$.

Khi đó $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = MN$.

Gọi $P = MN \cap \left( {{E_1}} \right)$

$\Rightarrow MN \le MP \le {A_1}{A_2} = 10$ (không đổi).

$\Rightarrow \max \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \max MN = 10$.

Ta có: $\left| {{z^2} + 4} \right| \ge \left| {{z^2}} \right| - \left| 4 \right| = {\left| z \right|^2} - 4 \Rightarrow 2\left| z \right| \ge {\left| z \right|^2} - 4 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} - 2\left| z \right| - 4 \le 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt 5  \le \left| z \right| \le 1 + \sqrt 5$

$\Rightarrow {\left| z \right|_{\max }} = 1 + \sqrt 5$ .

Đặt $z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)$

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {i\left( {a + bi} \right) - 3} \right| = \left| {a + bi - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( { - 3 - b} \right) + ai} \right| = \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 1} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {b + 3} \right)^2} + {a^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} + 6b + 9 + {a^2} = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 2b + 1\\ \Leftrightarrow 4a + 8b + 4 = 0\\ \Leftrightarrow a + 2b + 1 = 0\\ \Leftrightarrow a =  - 2b - 1\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{{\left( {2b + 1} \right)}^2} + {b^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5{b^2} + 4b + 1}  = \sqrt {5\left( {{b^2} + \dfrac{4}{5}b} \right) + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5\left( {{b^2} + 2.b.\dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{{25}}} \right) - \dfrac{4}{5} + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5{{\left( {b + \dfrac{2}{5}} \right)}^2} + \dfrac{1}{5}}  \ge \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $b =  - \dfrac{2}{5} \Rightarrow a =  - \dfrac{1}{5}.$

Vậy ${\mathop{\rm Re}\nolimits} z = a =  - \dfrac{1}{5}$.

Dùng phương pháp hình học $\to$ Kỹ năng dồn số phức.

* $P = \left| {z + i\,\overline w  - 6 + 8i} \right| = \left| {\left( {z - 6 + 8i} \right) - \left( { - i\overline w } \right)} \right| = \left| {u - v} \right|$.

Trong đó: $\left\{ \begin{array}{l}u = z - 6 + 8i\\v =  - i\overline w \end{array} \right.$, $u$ có điểm biểu diễn là $A$, $v$ có điểm biểu diễn là $B$.

$\Rightarrow P = \left| {u - v} \right| = AB \Rightarrow$ Cần đạt Min.

* $\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 6 + 8i} \right) + 6 - 8i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {u + 6 - 8i} \right| = 1$.

$\Rightarrow$ Tập hợp điểm $A$ biểu diễn số phức $u$ là đường tròn: $\left( {{C_1}} \right)$: $\left\{ \begin{array}{l}I\left( { - 6;8} \right)\\{R_1} = 1\end{array} \right.$.

* $\left| w \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\overline w } \right| = 2 \Leftrightarrow \left| { - i} \right|.\left| {\overline w } \right| = \left| { - i} \right|.2$ $\Rightarrow \left| { - i\overline w } \right| = 2 \Leftrightarrow \left| v \right| = 2$.

$\Rightarrow$ Tập hợp điểm $B$ biểu diễn số phức $v$ là đường tròn $\left( {{C_2}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}O\left( {0;0} \right)\\{R_2} = 2\end{array} \right.$.

Có $\left\{ \begin{array}{l}IA = {R_1} = 1\\OB = {R_2} = 2\\OI = 10\end{array} \right.$

$\Rightarrow A{B_{\min }} = IO - {R_1} - {R_2} = 10 - 1 - 2 = 7$.

Min đạt được khi: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = \dfrac{9}{{10}}\overrightarrow {OI}  \Rightarrow A\left( {\dfrac{{ - 27}}{5};\dfrac{{36}}{5}} \right) \Rightarrow u =  - \dfrac{{27}}{5} + \dfrac{{36}}{5}i\\\overrightarrow {OB}  = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {OI}  \Rightarrow B\left( {\dfrac{{ - 6}}{5};\dfrac{8}{5}} \right) \Rightarrow v =  - \dfrac{6}{5} + \dfrac{8}{5}i\end{array} \right.$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = u + 6 - 8i = \dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{5}i\\ - i\overline w  = v \Rightarrow \overline w  = \dfrac{v}{{ - i}} = \dfrac{{ - \dfrac{6}{5} + \dfrac{8}{5}i}}{{ - i}} =  - \dfrac{8}{5} - \dfrac{6}{5}i \Rightarrow w =  - \dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{5}i} \right) - \left( { - \dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i} \right)} \right| = \dfrac{{\sqrt {221} }}{5}$.

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

$1 = |z - 3 - 4i| \ge |z| - |3 + 4i| = |z| - 5 \Rightarrow |z| \le 6$

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

$|z| = |(z - 2 - 3i) + (2 + 3i)| \le |z - 2 - 3i| + |2 + 3i| = 1 + \sqrt {13}$

Các điểm $M\left( {x;y} \right)$ biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $|z - (1 - 2i)| = \sqrt 5$ thuộc đường tròn tâm $I(1;-2)$ (biểu diễn số phức $z_2=1-2i$) bán kính bằng $\sqrt 5$.

Ta có $w = z + 1 + i$ nên $z=w-1-i$. Thay vào $|z - 1 + 2i| = \sqrt 5$ ta được:

$|(w-1-i )- 1 + 2i| = \sqrt 5$ hay $|w-(2-i)|=\sqrt 5$

Từ đó các điểm biểu diễn $w$ thuộc đường tròn tâm J(2;-1) (điểm biểu diễn số phức 2-i) bán kính $\sqrt 5$

Thay tọa độ điểm O vào $|w-(2-i)|=\sqrt 5$ ta thấy $\left| {2 - i} \right| = \sqrt 5$ nên đường tròn này đi qua gốc $O$.

Quan sát hình vẽ trên ta thấy để w có mô đun lớn nhất thì khoảng cách từ O đến điểm trên đường tròn tâm J bán kính $\sqrt 5$ lớn nhất hay $OP$ là đường kính của đường tròn đó, tức P đối xứng với O qua J, vậy $w = 2\left( {2 - i} \right) = 4 - 2i$

Giả sử $z = a + bi$, ta có

$|a + bi - 2 - 4i| = |a + bi - 2i| \Leftrightarrow {(a - 2)^2} + {(b - 4)^2} = {a^2} + {(b - 2)^2}$

$\Leftrightarrow  - 4a + 4 - 8b + 16 =  - 4b + 4 \Leftrightarrow  - 4a - 4b + 16 = 0 \Leftrightarrow a + b = 4 \Rightarrow b = 4 - a$

Ta có

$|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{(4 - a)}^2}}  = \sqrt {2{a^2} - 8a + 16}  = \sqrt {2({a^2} - 4a + 4) + 8}  = \sqrt {2{{(a - 2)}^2} + 8}  \ge 2\sqrt 2$

$\Rightarrow \min \left| z \right| = 2\sqrt 2  \Rightarrow a = 2,b = 2 \Rightarrow z = 2 + 2i$.

Bước 1: Đặt $z = x + yi(x,y \in \mathbb{R})$. Tìm tập hợp điểm biểu diễn z.

Đặt $z = x + yi(x,y \in \mathbb{R})$.

Ta có $\left| {\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1} \right| = 2 \Leftrightarrow | - iz + 1| = 2 \Leftrightarrow |z + i| = 2$ $\Leftrightarrow {x^2} + {(y + 1)^2} = 4$.

Vậy tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ nằm trên đường tròn tâm $I(0; - 1)$ và bán kính $R = 2$.

Bước 2: Tìm max|z|.

Ta có $|z| = OM$.

Do đó, |z| lớn nhất khi OM lớn nhất.

Dựa vào hình vẽ ta thấy OM lớn nhất khi và chỉ khi O, M, I thẳng hàng $\Rightarrow \max |z| = 3$.

Ta có $\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right| \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 20 = {x^2} + {y^2} - 4y + 4 \Rightarrow y = 4 - x.$

Khi đó $\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{\left( {4 - x} \right)}^2}}  = \sqrt {2{x^2} - 8x + 16}  = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8}  \ge 2\sqrt 2 .$

Vậy môđun nhỏ nhất của $z$ là $2\sqrt 2 .$ Xảy ra $\Leftrightarrow \,\,x = y = 2 \Rightarrow M = 8.$

Đặt $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right)$.

Ta có $\left| {z + 2 - 2i} \right| = \left| {z - 4i} \right| \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}}$

$\Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} \Rightarrow y = 2 - x.$

Khi đó $w = iz + 1 = i\left( {x + yi} \right) + 1 = ix - y + 1 = ix - \left( {2 - x} \right) + 1 = \left( {x - 1} \right) + xi.$

Suy ra $\left| w \right| = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2}}  = \sqrt {2{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{1}{2}}  \ge \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi $x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = \dfrac{3}{2} \Rightarrow z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i$.

Ta có $\left| {{z^2} - 2z + 5} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|$

$\Leftrightarrow \left| {{{\left( {z - 1} \right)}^2} + 4} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)} \right|\left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z - 1} \right)}^2} - {{\left( {2i} \right)}^2}} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)} \right|\left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|$

$\Leftrightarrow \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z - 1 - 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)} \right|\left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 + 2i = 0{\rm{  }}(1)\\\left| {\left( {z - 1 - 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|{\rm{  }}(2)\end{array} \right..$

Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow z = 1 - 2i \Rightarrow w =  - 1 \Rightarrow P = \left| w \right| = 1.$

Xét $\left( 2 \right)$. Gọi  $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$.

Ta có $\left| {\left( {z - 1 - 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|$ $\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2}$ $\Leftrightarrow y =  - \dfrac{1}{2}.$

Khi đó $w = x - \dfrac{1}{2}i - 2 + 2i = \left( {x - 2} \right) + \dfrac{3}{2}i$ $\Rightarrow P = \left| w \right| = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2}}  \ge \dfrac{3}{2}$

Vậy ${P_{\min }} =1.$

Gọi $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right)$.

Ta có $\left| {z + 1 - i} \right| = \left| {z - 3i} \right|$, suy ra $\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}}  \Leftrightarrow 2x + 4y - 7 = 0$

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn các số phức $z$ là đường thẳng $\Delta :2x + 4y - 7 = 0.$

Ta có ${\left| z \right|_{\min }} = d\left( {O;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2}} }} = \dfrac{{7\sqrt 5 }}{{10}} \Rightarrow {\left| w \right|_{\max }} = \dfrac{1}{{{{\left| z \right|}_{\min }}}} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{7}.$

Đặt ${z_1} = {x_1} + {y_1}i$ và ${z_2} = {x_2} + {y_2}i$ với ${x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{y_1},{\rm{ }}{y_2} \in \mathbb{R}.$

$\left| {{z_1} - 2i} \right| = 3 \to {x_1}^2 + {\left( {{y_1} - 2} \right)^2} = 9$ suy ra tập hợp các số phức ${z_1}$ là đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9$.

$\left| {{z_2} + 2 + 2i} \right| = \left| {{z_2} + 2 + 4i} \right|$

$\to {\left( {{x_2} + 2} \right)^2} + {\left( {{y_2} + 2} \right)^2} = {\left( {{x_2} + 2} \right)^2} + {\left( {{y_2} + 4} \right)^2}$

$\Leftrightarrow {y_2} + 3 = 0$ suy ra tập hợp các số phức ${z_2}$ là đường thẳng $d:y =  - 3$.

Ta có $P = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}}$. Đây chính là khoảng cách từ điểm $B\left( {{x_2};{y_2}} \right) \in d$ đến điểm $A\left( {{x_1};{y_1}} \right) \in \left( C \right)$.

Do đó ${\left| {{z_2} - {z_1}} \right|_{\min }} \Leftrightarrow A{B_{\min }}.$

Dựa vào hình vẽ ta tìm được $A{B_{\min }} = 2$ khi $A\left( {0; - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {0; - 3} \right)$.

Gọi $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right)$. Ta có

${{\left| z-2 \right|}^{2}}-{{\left| z+i \right|}^{2}}=1$ $\to {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1$ $\xrightarrow{{}}2x+y-1=0$.

Suy ra tập hợp các số phức ${z_1}$ là đường thẳng $\Delta :2x + y - 1 = 0.$

$\left| z-4-i \right|=\sqrt{5}\xrightarrow{{}}\left| \left( x-4 \right)+\left( y-1 \right)i \right|=\sqrt{5}$

$\Leftrightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=5$

Suy ra tập hợp các số phức ${z_2}$ là đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5$ có tâm $I\left( {4;1} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 5 .$

Khi đó biểu thức $P = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|$ là khoảng cách từ một điểm thuộc $\Delta$ đến một điểm thuộc $\left( C \right)$.

Từ đó suy ra ${P_{\min }} = MN = \left| {d\left[ {I,\Delta } \right] - R} \right|$ $= \left| {\dfrac{8}{{\sqrt 5 }} - \sqrt 5 } \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}.$

Vì $\left| {z - \left( {3 + 4i} \right)} \right| = \sqrt 5  \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5.$

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3;4} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 5$.

Ta có $P = {\left| {\left( {x + 2} \right) + yi} \right|^2} - {\left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right|^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} - \left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right]$.

$= 4x + 2y + 3 \Leftrightarrow 4x + 2y + 3 - P = 0.$

Ta tìm $P$ sao cho đường thẳng $\Delta :4x + 2y + 3 - P = 0$ và đường tròn $\left( C \right)$ có điểm chung $\Leftrightarrow d\left[ {I,\Delta } \right] \le R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {12 + 8 + 3 - P} \right|}}{{\sqrt {20} }} \le \sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {23 - P} \right| \le 10 \Leftrightarrow 13 \le P \le 33.$

Do đó ${P_{\max }} = 33$. Dấu $'' = ''$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 2y - 30 = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = \,5\end{array} \right.$.

Vậy $\left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}}  = 5\sqrt 2$.

Bước 1: Gọi $M(x,y)$ là điểm biểu diễn số phức $z = x + yi(x,y \in \mathbb{R})$. Các điểm biểu diễn số phức $1 - 2i$ và $- i$.

Gọi $M(x,y)$ là điểm biểu diễn số phức $z = x + yi(x,y \in \mathbb{R})$.

Gọi $E(1, - 2)$ là điểm biểu diễn số phức $1 - 2i$.

Gọi $F(0, - 1)$ là điểm biểu diễn số phức $- i$.

$\overrightarrow {EF}  = \left( { - 1;1} \right)$

Đường thẳng EF qua E và nhận $\overrightarrow n \left( {1;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$EF:x - y - 2 = 0$

Bước 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z và tìm z để MA ngắn nhất

Ta có $|z + 2i - 1| = |z + i| \Leftrightarrow ME = MF \Rightarrow$ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường trung trực của $EF:x - y - 2 = 0$.

Để MA ngắn nhất thì $MA \bot EF$ tại $M \Leftrightarrow M(3,1) \Rightarrow z = 3 + i$.

Gọi $M$ và $N$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z + 6 + 8i$ và $i\overline {\rm{w}}$.

Ta có: $\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {z + 6 + 8i} \right) + \left( { - 6 - 8i} \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow MI = 1$ với $I\left( { - 6; - 8} \right).$

Suy ra tập hợp điểm $M$ là đường tròn $\left( {{T_1}} \right)$ tâm $I\left( {6;8} \right)$ và bán kính ${R_1} = 1$.

Ta có: $\left| {i\overline {\rm{w}} } \right| = \left| i \right|.\left| {\overline {\rm{w}} } \right| = 2.$

Suy ra tập hợp điểm $N$ là đường tròn $\left( {{T_2}} \right)$ tâm $O$ và bán kính ${R_2} = 2$.

Ta có: $P = \left| {z + \overline {iw}  + 6 + 8i} \right| = MN$

$\Rightarrow \min P = OI - {R_1} - {R_2} = 10 - 1 - 2 = 7$ (do $\left( {{T_1}} \right)$ và $\left( {{T_2}} \right)$ rời nhau).

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OM}  = \dfrac{9}{{10}}\overrightarrow {OI} \\\overrightarrow {ON}  = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {OI} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( { - \dfrac{{27}}{5}; - \dfrac{{36}}{5}} \right)\\N\left( { - \dfrac{6}{5}; - \dfrac{8}{5}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i\\{\rm{w}} = \dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i\end{array} \right.$

Vậy $\left| {z - {\rm{w}}} \right| = \left| {\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i - \dfrac{8}{5} - \dfrac{6}{5}i} \right| = \dfrac{{\sqrt {29} }}{5}$

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}z + 2 = iw \Rightarrow w = \dfrac{{z + 2}}{i}\\\left| {w - i} \right| = 2 \Rightarrow \left| {\dfrac{{z + 2}}{i} - i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {z + 2 + 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {z + 3} \right| = 2\end{array}$

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn $I\left( { - 3;0} \right)$ bán kính $R = 2$.

Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $z$, dựa vào hình vẽ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }} \Leftrightarrow M\left( { - 1;0} \right) \Rightarrow {z_1} =  - 1\\{\left| z \right|_{\max }} \Leftrightarrow O{M_{\max }} \Leftrightarrow M\left( { - 5;0} \right) \Rightarrow {z_2} =  - 5\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 6$.

Bước 1: Tính $2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)$

Ta có $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = |8 + 6i| = 10$.

Suy ra $2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right) = {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2}$$= 100 + 4 = 104$.

Bước 2: Tìm P max

Ta có $P = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| \le \sqrt {2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)}  = \sqrt {104}  = 2\sqrt {26}$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {26} }\\{{z_1} + {z_2} = 8 + 6i}\\{\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2}\end{array}} \right.$

Vậy $\max P = 2\sqrt {26}$.