Lôgarit - Định nghĩa và tính chất

Ta có:\(I = {\log _{\dfrac{a}{5}}}\left( {\dfrac{{{a^3}}}{{125}}} \right) = {\log _{\dfrac{a}{5}}}{\left( {\dfrac{a}{5}} \right)^3} = 3{\log _{\dfrac{a}{5}}}\left( {\dfrac{a}{5}} \right) = 3\).

Ta có: \({\log _a}\sqrt a  = {\log _a}\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}}} \right) = \dfrac{1}{2}{\log _a}a = \dfrac{1}{2}\).

\({\log _3}{a^2} = 2{\log _3}a\,\,\left( {a > 0} \right).\)

Ta có: \({\log _a}\sqrt[5]{a} = \dfrac{1}{5}{\log _a}a = \dfrac{1}{5}\)

Ta có: \({\log _a}\sqrt[4]{a} = {\log _a}\left( {{a^{\dfrac{1}{4}}}} \right) = \dfrac{1}{4}{\log _a}a = \dfrac{1}{4}\).

Ta có: \({\log _2}{a^3} = 3{\log _2}a\)

Ta có: \(\log {{a}^{3}}=3\log \ a.\)

Ta có: \(\frac{{{\log }_{a}}b}{{{\log }_{a}}c}=\frac{{{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{a}}c}={{\log }_{c}}b.\)

Ta có \({{\log }_{a}}b=2\Leftrightarrow b={{a}^{2}}\)\(\Rightarrow T={{\log }_{\dfrac{\sqrt{a}}{b}}}\sqrt[3]{ab}\) \(={{\log }_{\dfrac{\sqrt{a}}{{{a}^{2}}}}}\sqrt[3]{a.{{a}^{2}}}\)\(={{\log }_{{{a}^{\frac{-3}{2}}}}}a=\dfrac{1}{{ - \dfrac{3}{2}}}{\log _a}a=\dfrac{1}{\dfrac{-3}{2}}=-\dfrac{2}{3}\)

(Vì \(\dfrac{{\sqrt a }}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^2}}} = {a^{\frac{1}{2} - 2}} = {a^{ - \frac{3}{2}}}\))

\(\begin{array}{l}{\log _2}\dfrac{{2\sqrt[3]{a}}}{{{b^3}}} = {\log _2}\left( {2\sqrt[3]{a}} \right) - {\log _2}{b^3} = {\log _2}2 + {\log _2}\sqrt[3]{a} - 3{\log _2}b\\= 1 + \dfrac{1}{3}{\log _2}a - 3{\log _2}b\end{array}\)

Ta có: \({\log _a}\dfrac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\)

Dựa vào các đáp án ta thấy đáp án B sai vì nếu  \(c= 1\) thì không tồn tại \({\log _1}a\) với \(a > 0,a \ne 1\)

Ta có: \({\log _a}\sqrt[3]{a} = {\log _a}{a^{\frac{1}{3}}} = \dfrac{1}{3}\)

Ta có: \({{\log }_{a}}\left( {{a}^{2}}b \right)={{\log }_{a}}{{a}^{2}}+{{\log }_{a}}b=2{{\log }_{a}}a+{{\log }_{a}}b=2+{{\log }_{a}}b\)

Ta có \(I={{\log }_{\frac{a}{4}}}\left( \frac{{{a}^{3}}}{64} \right)={{\log }_{\frac{a}{4}}}{{\left( \frac{a}{4} \right)}^{3}}=3{{\log }_{\frac{a}{4}}}\frac{a}{4}=3.\)

+) Với đáp án A: \(\ln x<1\Leftrightarrow 0<x<e\) . Đáp án A đúng.

+) Với đáp án B: \({{\log }_{4}}{{x}^{2}}>{{\log }_{2}}y\Leftrightarrow {{\log }_{{{2}^{2}}}}{{x}^{2}}>{{\log }_{2}}y\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left| x \right|>{{\log }_{2}}y\Leftrightarrow \left| x \right|>y\). Nên đáp án B sai

+) Với đáp án C: \({{\log }_{\frac{1}{3}}}x<{{\log }_{\frac{1}{3}}}y\Leftrightarrow x>y>0\) do \(0<\frac{1}{3}<1\) . Nên đáp án C đúng.

+) Với đáp án D: \(\log x>0\Leftrightarrow x>1\). Đáp án D đúng.

Ta có: \(1<a<b\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & 1={{\log }_{a}}a<{{\log }_{a}}b \\  & {{\log }_{b}}a<{{\log }_{b}}b=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{\log }_{b}}a<1<{{\log }_{a}}b\Rightarrow \frac{1}{{{\log }_{a}}b}<1<\frac{1}{{{\log }_{b}}a}\)

\({\log _3}\left( {3{a^2}} \right) = {\log _3}3 + {\log _3}{a^2} = 1 + 2{\log _3}a\).

Logarit cơ số \(2\) của \(5\) được viết là \({\log _2}5\).

Để biểu thức \({\log _2}\left( {3 - x} \right)\) xác định thì \(3 - x > 0 \Leftrightarrow x < 3\)