Phương trình mũ và một số phương pháp giải

Ta có ${7^{2{x^2} + 5x + 4}} = 49 = {7^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 4 = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{1}{2}\\x =  - 2\end{array} \right.$.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $- \dfrac{1}{2} - 2 = \dfrac{{ - 5}}{2}$.

${2^{2x - 1}} = 32 \Leftrightarrow 2x - 1 = {\log _2}32 = 5 \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 3$.

Đặt $t = {(2 + \sqrt 3 )^x},t > 0$$\Rightarrow {(2 - \sqrt 3 )^x} = \dfrac{1}{t}$.

Khi đó phương trình trở thành $t + m \cdot \dfrac{1}{t} = 1$$\Leftrightarrow {t^2} + m = t \Leftrightarrow m =  - {t^2} + t$$\Leftrightarrow m = f(t)$.

Bài toán tương đương: Tìm $m$ để phương trình $m = f(t)$ có hai nghiệm dương phân biệt.

Ta có $f(t) =  - {t^2} + t$$\Rightarrow {f^\prime }(t) =  - 2t + 1;$

${f^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2} > 0$.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 2 nghiệm khi $0 < m < \dfrac{1}{4}$.

Vậy $m \in \left( {0;\dfrac{1}{4}} \right)$ từ đó ta có $a = 0,b = \dfrac{1}{4}$

$\Rightarrow T = 3a + 8b = 2$.

* pt $\Leftrightarrow 27{\,^{3{x^2} + xy - 15x}} = xy + 1$.

$\Rightarrow xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y >  - \dfrac{1}{x}$, khi $x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$ $\Rightarrow y >  - 3$ thì mới tồn tại $x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$.

$\Rightarrow$ Ta chặn được $y >  - 3$ => $y \ge  - 2$.

* $pt \Leftrightarrow {27^{3{x^2} + xy - 15x}} - xy - 1 = 0$.

Đặt $f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 15x}} - xy - 1$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = {3^{y - 14}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left( 5 \right) = {27^{5y}} - 5y - 1\end{array} \right.$.

Nhận thấy ngay $f\left( 5 \right) \ge 0\,\,\forall y \in \mathbb{Z}$, chỉ bằng 0 tại $y = 0$.

+ Xét $y = 0 \Rightarrow$ thay vào phương trình ban đầu $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.$, loại vì không có nghiệm thuộc $\left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$.

+ Xét $y \ne 0 \Rightarrow f\left( 5 \right) > 0\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^*}$.

1) Ta Table khảo sát $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}Start:\,\,y =  - 2\\End:\,\,y = 17\\Step:\,\,\, = 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;15} \right\}$.

$\Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right).f\left( 5 \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;15} \right\}$

$\Rightarrow$ Có 17 giá trị của $y$ để tồn tại nghiệm $x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$.

2) Từ bảng Table ta nhận thấy khi $y \ge 16$ thì $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) > 0$ và đồng biến.

Ta đi chứng minh khi $y \ge 16$ thì phương trình vô nghiệm.

$g'\left( y \right) = x\left( {{{27}^{3{x^2} + x\left( {y - 15} \right)}}.\ln 27 - 1} \right) > 0\,\,\left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 16\\x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {16} \right) = {27^{3{x^2} + x}} - 16x - 1 = h\left( x \right)$.

Ta có $h'\left( x \right) = {27^{3{x^2} + x}}\left( {6x + 1} \right)\ln 27 - 16 > 0\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$.

$\Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{8}{3} > 0$.

$\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm với $x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$.

Vậy đáp số có 17 giá trị nguyên của $y$.

Ta có: ${\log _4}a = {\log _6}b = {\log _9}(a + b) = t$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = {4^t}\\b = {6^t}\\a + b = {9^t}\end{array} \right.$

$\Rightarrow {4^t} + {6^t} = {9^t}$$\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2t}} + {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} - 1 = 0$  

Đặt ${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} = u > 0 \Rightarrow {u^2} + u - 1 = 0$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}u = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {tm} \right)\\u = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$

Nên ${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$

Mà $\dfrac{a}{b} = \dfrac{{{4^t}}}{{{6^t}}} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t}$  nên $\dfrac{a}{b} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$

Ta có: ${5^{3x - 2}} = {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{ - {x^2}}} \Leftrightarrow {5^{3x - 2}} = {5^{{x^2}}} \Leftrightarrow 3x - 2 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình là ${1^2} + {2^2} = 5$.

Ta có:  ${9^{x + 1}} - {3^{x + 1}} - 30 = 0 \Leftrightarrow {9.9^x} - {3.3^x} - 30 = 0 \Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {3^x} - 10 = 0\,\,\,\left( * \right)$

Đặt ${3^x} = t$ ta có phương trình  $\left( * \right) \Leftrightarrow 3{t^2} - t - 10 = 0.$

Ta có: ${27^{3{x^2} + xy - 18x}} = xy + 1$

ĐK: $xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y >  - \dfrac{1}{x}$ khi $x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)$$\Rightarrow y >  - 3$ thì mới tồn tại $x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)$.

Xét ${27^{3{x^2} + xy - 18x}} - xy - 1 = 0$

Đặt $f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 18x}} - xy - 1$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = {3^{y - 17}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left( 6 \right) = {27^{6y}} - 6y - 1\end{array} \right.$

Nhận thấy $f\left( 6 \right) \ge 0\,\forall \,y \in \mathbb{Z}$. Dấu bằng xảy ra khi $y = 0$.

Xét $y = 0$ thay vào phương trình ban đầu $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 6\end{array} \right.$ loại vì $x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)$

Xét $y \ne 0 \Rightarrow f\left( 6 \right) > 0\,\forall \,x \in \mathbb{Z}*$

Ta table khảo sát $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)$ ta rút ra được $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) < 0,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;17;18} \right\}$.

Ta có: $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right).f\left( 6 \right) < 0\,\forall \,y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;18} \right\}$

Có $20$ giá trị của $y$ để tồn tại nghiệm $x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)$

Từ bảng Table ta nhận thấy khi $y \ge 19$ thì phương trình vô nghiệm.

$g'\left( y \right) = x\left( {{{27}^{3{x^2} + x\left( {y - 18} \right)}}.\ln 27 - 1} \right) > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 19\\x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)\end{array} \right.$

Vậy có $20$ giá trị nguyên của $y$ thỏa mãn.

Bước 1: Biến đổi ${\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x$ và thay vào phương trình.

Ta có ${2^{{{\sin }^2}x}} + {3^{{{\cos }^2}x}} = m \cdot {3^{{{\sin }^2}x}} \Leftrightarrow {2^{{{\sin }^2}x}} + {3^{1 - {{\sin }^2}x}} = m \cdot {3^{{{\sin }^2}x}}$.

Bước 2: Đặt $t = {\sin ^2}x,t \in [0;1]$. Chia cả 2 vế cho ${3^t}$

Đặt $t = {\sin ^2}x,t \in [0;1]$. Phương trình đã cho trở thành

${2^t} + {3^{1 - t}} = m{.3^t} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} + {3^{1 - 2t}} = m$

Bước 3: Xét  hàm số $f(t) = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} + {3^{1 - 2t}}$, với $t \in [0;1]$. Tìm m.

Xét hàm số $f(t) = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} + {3^{1 - 2t}}$, với $t \in [0;1]$. Ta có $f'(t) = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t}.\ln \dfrac{2}{3} - {2.3^{1 - 2t}}.\ln 3$ $f''(t) = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} \cdot {\left( {\ln \dfrac{2}{3}} \right)^2} + {4.3^{1 - 2t}} \cdot {(\ln 3)^2} > 0$$\forall t \in \left[ {0;1} \right]$

$\Rightarrow {f^\prime }(t)$ liên tục và đồng biến trên [0 ; 1] nên ${f^\prime }(t) \le {f^\prime }(1) = \dfrac{2}{3}\ln \dfrac{2}{9} < 0,\forall t \in [0;1]$.

$\Rightarrow {f^\prime }(t)<0\forall t \in [0;1]$

$\Rightarrow f(t)$ liên tục và nghịch biến trên [0 ; 1] nên $f(1) \le f(t) \le f(0),\forall t \in [0;1]$

Suy ra $1 \le m \le 4$.

Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn.

Ta có ${9^x} - {3^{x + 1}} + 2 = 0 \Leftrightarrow {3^{2x}} - {3.3^x} + 2 = 0$

Đặt ${3^x} = t > 0$ ta có phương trình ${t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} = 1\\{3^x} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {\log _3}2\end{array} \right.$

Nên tích các nghiệm của phương trình là $0.{\log _3}2 = 0$

Bước 1: Sử dụng công thức ${a^{m + n}} = {a^m}.{a^n}$

$\begin{array}{l}{8^{2x + \dfrac{1}{3}}} - {5.8^x} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {8^{2x}}{.8^{\dfrac{1}{3}}} - {5.8^x} + 2 = 0\end{array}$

Bước 2: Giải phương trình và tính tổng nghiệm

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2.{\left( {{8^x}} \right)^2} - {5.8^x} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2.{\left( {{8^x}} \right)^2} - {4.8^x} - {8^x} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {2.8^x}.\left( {{8^x} - 2} \right) - \left( {{8^x} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{8^x} - 2} \right)\left( {{{2.8}^x} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{8^x} = 2\\{8^x} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\x =  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}$

Tổng nghiệm bằng 0

$\begin{array}{l}{9^{\left| {x + 1} \right|}} = {27^{2x - 2}} \Leftrightarrow {3^{2\left| {x + 1} \right|}} = {3^{3\left( {2x - 2} \right)}} \Leftrightarrow 2\left| {x + 1} \right| = 6x - 6\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 2 = 6x - 6\,\,khi\,x \ge  - 1\\2x + 2 =  - 6x + 6\,\,khi\,x <  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}$

${2^{2{x^2} - 7x + 5}} = 1 \Leftrightarrow {2^{2{x^2} - 7x + 5}} = {2^0} \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{5}{2}\end{array} \right..$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

${\left( {\dfrac{1}{{25}}} \right)^{x + 1}} = {125^{2x}}$ $\Leftrightarrow {\left( {{5^{ - 2}}} \right)^{x + 1}} = {\left( {{5^3}} \right)^{2x}}$ $\Leftrightarrow {5^{ - 2x - 2}} = {5^{6x}}$ $\Leftrightarrow  - 2x - 2 = 6x \Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{4}.$

Ta có: $\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = {2^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 1$ $\Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1$ $\Leftrightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = \dfrac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}}} =   {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - x}},$

Khi đó phương trình có dạng ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - x}} = 14.$

Đặt ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right),$ phương trình trở thành $\begin{array}{l}t + {t^{ - 1}} = 14 \Leftrightarrow t + \dfrac{1}{t} = 14 \Leftrightarrow {t^2} - 14t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} = 7 + 4\sqrt 3  = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2}\\{t_2} = 7 - 4\sqrt 3  = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 2}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2}\\{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2\\{x_2} =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}{x_2} =  - 4.\end{array}$

Đặt $t = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{{x^2}}} \Rightarrow 0 < t \le 1$ thì phương trình trở thành ${t^2} - \left( {m + 1} \right)t - 2m = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t = mt + 2m \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} - t}}{{t + 2}} = m$

Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng $y = m$ phải cắt đồ thị hàm số $y = f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - t}}{{t + 2}}$ tại ít nhất một điểm $t \in \left( {0;1} \right]$.

Xét $f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - t}}{{t + 2}}$ trên $\left( {0;1} \right]$ có $f'\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 4t - 2}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 2 + \sqrt 6  \in \left( {0;1} \right]\\t =  - 2 - \sqrt 6  \notin \left( {0;1} \right]\end{array} \right.$

Ta có : $f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = 0,f\left( { - 2 + \sqrt 6 } \right) =  - 5 + 2\sqrt 6$ $\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;1} \right]} f\left( t \right) = 0,\mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right]} f\left( t \right) =  - 5 + 2\sqrt 6$.

Vậy phương trình có nghiệm nếu $- 5 + 2\sqrt 6  \le m \le 0 \Rightarrow m \in \left[ { - 5 + 2\sqrt 6 ;0} \right]$ hay $a = 5,b = 6 \Rightarrow b - a = 1$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{4^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {4^{{x^2} - 2x + 1}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {4.4^{{x^2} - 2x}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0\end{array}$

Đặt $t = {2^{{x^2} - 2x}}$. Ta có: ${x^2} - 2x = {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 \ge  - 1$ $\Rightarrow t \ge {2^{ - 1}} = \dfrac{1}{2}$.

Khi đó phương trình trở thành $4{t^2} - 4m.t + 3m - 2 = 0\,\,\,\left( * \right)$ với $t \ge \dfrac{1}{2}$.

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm $t$ phân biệt thỏa mãn $t > \dfrac{1}{2}$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1} + {t_2} > 1\\\left( {{t_1} - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{t_2} - \dfrac{1}{2}} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 4\left( {3m - 2} \right) > 0\\m > 0\\\dfrac{{3m - 2}}{4} - \dfrac{1}{2}.m + \dfrac{1}{4} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 12m + 8 > 0\\m > 0\\3m - 2 - 2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\\m > 0\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\end{array}$

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $m \in \left( {2;2020} \right]$.

Vậy có $2020 - 3 + 1 = 2018$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

${\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = {3.2^x} \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}^x}}}{{{2^x}}} + \dfrac{{{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^x}}}{{{2^x}}} = 3 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 3.$

Ta có $\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) = \dfrac{{{3^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}{4} = 1 \Rightarrow {\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^x}}} = {\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - x}}.$khi đó phương trình tương đương với ${\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - x}} = 3.$

Đặt ${\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right)$, khi đó phương trình trở thành $t + \dfrac{1}{t} = 3 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\{t_2} = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\{\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = {\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}{x_2} =  - 1.$

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{4^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {4^{{x^2} - 2x + 1}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {4.4^{{x^2} - 2x}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0\end{array}$

Đặt $t = {2^{{x^2} - 2x}}$. Ta có: ${x^2} - 2x = {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 \ge  - 1$ $\Rightarrow t \ge {2^{ - 1}} = \dfrac{1}{2}$.

Khi đó phương trình trở thành $4{t^2} - 4m.t + 3m - 2 = 0\,\,\,\left( * \right)$ với $t \ge \dfrac{1}{2}$.

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm $t$ phân biệt thỏa mãn $t > \dfrac{1}{2}$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1} + {t_2} > 1\\\left( {{t_1} - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{t_2} - \dfrac{1}{2}} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 4\left( {3m - 2} \right) > 0\\m > 0\\\dfrac{{3m - 2}}{4} - \dfrac{1}{2}.m + \dfrac{1}{4} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 12m + 8 > 0\\m > 0\\3m - 2 - 2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\\m > 0\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\end{array}$

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $m \in \left( {2;2020} \right]$.

Vậy có $2020 - 3 + 1 = 2018$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\3 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 3.$

Đặt $t = {2^{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x} }} = t(x)\,\,\left( {t\left( x \right) > 0} \right)$.Ta có $t'\left( x \right) = \left( {\dfrac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} - \dfrac{1}{{2\sqrt {3 - x} }}} \right){.2^{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x} }}\ln 2.$

$\Rightarrow t'(x) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} - \dfrac{1}{{2\sqrt {3 - x} }} \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  = \sqrt {3 - x}  \Leftrightarrow x = 1.$

Bảng biến thiên

Do đó $t \in \left[ {4;{4^{\sqrt 2 }}} \right]$.

Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm m để phương trình ${t^2} - 14t + 8 = m\,\,(*)$ có nghiệm với $t \in \left[ {4;{4^{\sqrt 2 }}} \right]$.

Xét hàm số $g(t) = {t^2} - 14t + 8,\,\,t \in \left[ {4;{4^{\sqrt 2 }}} \right].$

Ta có $g'(t) = 2t - 14,\,\,g'(t) = 0 \Leftrightarrow 2t - 14 = 0 \Leftrightarrow t = 7$

Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị m cần tìm là $- 41 \le m \le  - 32.$