Tổng hợp câu hay và khó chương 4 phần 1

Đặt ${z_3} = i{z_2} \Rightarrow z_3^2 =  - z_2^2 \Rightarrow S = \left| {z_1^2 + 4z_2^2} \right| = \left| {z_1^2 - 4z_3^2} \right| = \left| {{z_1} - 2{z_3}} \right|\left| {{z_1} + 2{z_3}} \right|$

M, N là các điểm biểu diễn cho ${z_1},{z_3} \Rightarrow OM = 2,\,\,ON = \left| {{z_3}} \right| = \left| {i{z_2}} \right| = \left| i \right|.\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 3$.

Gọi P là điểm biểu diễn cho $2{z_3}$ và $Q$ là điểm biểu diễn cho $- 2{z_3}$ , ta có N là trung điểm của OP và P, Q đối xứng nhau qua O. Khi đó $S = MP.MQ$.

Áp dụng định lí Cosin trong $\Delta OMP$ có:

$M{P^2} = O{P^2} + O{M^2} - 2OP.OM.\cos 30 = 12 + 4 - 2.2\sqrt 3 .2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 4 \Rightarrow MP = 2$Áp dụng định lí Cosin trong $\Delta OMQ$ có:

$\begin{array}{l}M{Q^2} = O{M^2} + O{Q^2} - 2OM.OQ.\cos {150^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4 + 12 + 2.2.2\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 7 \\ \Rightarrow S = MP.MQ = 2.2\sqrt 7  = 4\sqrt 7 \end{array}$

Ta có : $2 = \left| {{z_1} + 1 - i} \right| = \left| {{z_1} + \left( {1 - i} \right)} \right|$$\ge \left| {{z_1}} \right| - \left| {1 - i} \right| = \left| {{z_1}} \right| - \sqrt 2$$\Rightarrow \left| {{z_1}} \right| - \sqrt 2  \le 2 \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| \le 2 + \sqrt 2$

Lại có ${z_2} = i{z_1} \Rightarrow \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - i{z_1}} \right|$$= \left| {\left( {1 - i} \right){z_1}} \right| = \sqrt 2 \left| {{z_1}} \right|$$\le \sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2  + 2$

$\Rightarrow \max \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\sqrt 2  + 2$

$\begin{array}{l} 2 = \left| {{z_1} + 1 - i} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {1 - i} \right| = \left| {{z_1}} \right| + \sqrt 2 \\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \sqrt 2 \ge 2\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| \ge 2 - \sqrt 2 \\ \Rightarrow \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - i{z_1}} \right|\\ = \left| {{z_1}\left( {1 - i} \right)} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\sqrt 2 \\ \ge \left( {2 - \sqrt 2 } \right).\sqrt 2 = 2\sqrt 2 - 2\\ \Rightarrow \left| {{z_1} - {z_2}} \right| \ge 2\sqrt 2 - 2\\ \Rightarrow m = 2\sqrt 2 - 2 \end{array}$

Ta có: $\left| {4{z_1}{z_2} + 16{z_2}{z_3} + 9{z_1}{z_3}} \right| = \left| {{z_3}.\overline {{z_3}} .{z_1}{z_2} + {z_1}.\overline {{z_1}} .{z_2}{z_3} + {z_2}.\overline {{z_2}} .{z_1}{z_3}} \right| = \left| {{z_1}{z_2}{z_3}.\left( {\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}  + \overline {{z_3}} } \right)} \right| = \left| {{z_1}{z_2}{z_3}} \right|.\left| {\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}  + \overline {{z_3}} } \right|$

$= \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|.\left| {{z_2}} \right|.\left| {\overline {{z_1} + {z_2} + {z_3}} } \right| = 24.\left| {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right| = 48$

$\Rightarrow P = \left| {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right| = \dfrac{{48}}{{24}} = 2$

Ta có: $\left| z \right|\left( {z - 5 - i} \right) + 2i = \left( {6 - i} \right)z$

$\Leftrightarrow \left| z \right|.z - 5\left| z \right| - \left| z \right|i + 2i = \left( {6 - i} \right)z \Leftrightarrow z\left( {\left| {z } \right|} - 6 + i \right) = 5\left| z \right| + \left( {\left| z \right| - 2} \right)i\;\;\;\left( * \right)$

Lấy modul 2 vế của phương trình $\left( * \right)$ ta được: $\left| z \right|\sqrt {{{\left( {\left| z \right| - 6} \right)}^2} + 1}  = \sqrt {25\left| {{z^2}} \right| + {{\left( {\left| z \right| - 2} \right)}^2}} \;\;\;\;\left( 1 \right)$

Đặt $x = \left| z \right|\;\;\left( {x \ge 0} \right).$  Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow x\sqrt {{{\left( {x - 6} \right)}^2} + 1}  = \sqrt {25{x^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 12x + 36 + 1} \right) = 25{x^2} + {x^2} - 4x + 4\\ \Leftrightarrow {x^4} - 12{x^3} + 36{x^2} + {x^2} = 26{x^2} - 4x + 4\\ \Leftrightarrow {x^4} - 12{x^3} + 11{x^2} + 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 11{x^2} + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\{x^3} - 11{x^2} + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\;\;\left( {tm} \right)\\x \approx 10,97\;\;\;\left( {tm} \right)\\x \approx 0,62\;\;\;\left( {tm} \right)\\x \approx  - 0,59\;\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| z \right| = 1\;\\\left| z \right| \approx 10,97\;\\\left| z \right| \approx 0,62\;\end{array} \right..\end{array}$

Thay các $\left| z \right|$ vào phương trình đã cho ta sẽ nhận được 3 số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có $\left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|\left| {{z_3}} \right| = 2 \Rightarrow OB = OA = 2$.

Đặt $AB = x\,\,\left( {0 < x < 4} \right)$ ta có: $a = \dfrac{1}{2}.x.\sqrt {4 - \dfrac{{{x^2}}}{4}}  = \dfrac{1}{4}x\sqrt {16 - {x^2}} ;\,\,b = 2 + 2 + x = 4 + x$

$\Rightarrow T = a + b = \dfrac{{x\sqrt {16 - {x^2}} }}{4} + 4 + x$  

Sử dụng MTCT ta tính được ${T_{\max }} \approx 9,19$

Ta có $OM = 3;\,\,ON = 4$ ; $\widehat {\left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON} } \right)} = {60^0} \Rightarrow \widehat {\left( {OM;ON} \right)} = {60^0}$.

$\left| z \right| = \dfrac{{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|}}{{\left| {{z_1} - {z_2}} \right|}} = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OM}  - \overrightarrow {ON} } \right|}} = \dfrac{{2\left| {\overrightarrow {OI} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}} = \dfrac{{2OI}}{{MN}}$ (với I là trung điểm của MN).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác OMN có $MN = \sqrt {O{M^2} + O{N^2} - 2OM.ON.\cos \left( {OM;ON} \right)}  = \sqrt {13}$

OI là đường trung tuyến của tam giác OMN $\Rightarrow OI = \sqrt {\dfrac{{O{M^2} + O{N^2}}}{2} - \dfrac{{M{N^2}}}{4}}  = \dfrac{{\sqrt {37} }}{2}$

Vậy $\left| z \right| = \dfrac{{2.\dfrac{{\sqrt {37} }}{2}}}{{\sqrt {13} }} = \dfrac{{\sqrt {481} }}{{13}}$.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i\\ \Leftrightarrow \left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| + 2 - i = \dfrac{{\sqrt {10} }}{z}\\ \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| + 2} \right) + \left( {2\left| z \right| - 1} \right)i = \dfrac{{\sqrt {10} }}{z}\\ \Leftrightarrow {\left( {\left| z \right| + 2} \right)^2} + {\left( {2\left| z \right| - 1} \right)^2} = \dfrac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\\ \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} + 4\left| z \right| + 4 + 4{\left| z \right|^2} - 4\left| z \right| + 1 = \dfrac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\\ \Leftrightarrow 5{\left| z \right|^4} + 5{\left| z \right|^2} - 10 = 0 \Leftrightarrow \left| z \right| = 1 \in \left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\end{array}$

Gọi $z = x + yi$ ta có:

$\begin{array}{l}\left| {x + yi} \right| = \left| {x - yi + 4 - 3i} \right|\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 8x + 6y =  - 25\end{array}$

Gọi điểm $M\left( {x;y} \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức z và $A\left( { - 1;1} \right);\,\,B\left( {2; - 3} \right)$ ta có:

$\left| {z + 1 - i} \right| + \left| {z - 2 + 3i} \right| = MA + MB$ nhỏ nhất.

Ta có : $MA + MB \ge 2\sqrt {MA.MB}$, dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow MA = MB \Rightarrow$ M thuộc trung trực của AB.

Gọi $I$ là trung điểm của AB ta có $I\left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 4} \right)$.

Phương trình đường trung trực của AB là $3\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) - 4\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y - \dfrac{{11}}{2} = 0$

Để ${\left( {MA + MB} \right)_{\min }} \Leftrightarrow$ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}8x + 6y =  - 25\\3x - 4y = \dfrac{{11}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{{67}}{{50}}\\y =  - \dfrac{{119}}{{50}}\end{array} \right.$

$\Rightarrow z =  - \dfrac{{67}}{{50}} - \dfrac{{119}}{{50}}i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{{67}}{{50}}\\b =  - \dfrac{{119}}{{50}}\end{array} \right. \Rightarrow P = a + 2b =  - \dfrac{{61}}{{10}}$

Ta có: $\left| {iz + \sqrt 2  - i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {i\left( {x + yi} \right) + \sqrt 2  - i} \right| = 1$ (với $z = x + yi\;\left( {x;y \in R} \right)$)

$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - \sqrt 2 } \right)^2} = 1 \Rightarrow M\left( {x;y} \right)$ biểu diễn $z$ thuộc đường tròn tâm $I\left( {1;\sqrt 2 } \right)$ bán kính $R = 1.$

Giả sử $A\left( {{z_1}} \right);B\left( {{z_2}} \right)$ do $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2 \Rightarrow AB = 2 = 2R$ nên $AB$ là đường kính của đường tròn $\left( {I;R} \right)$

Lại có: $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = OA + OB$

Mặt khác theo công thức trung tuyến ta có: $O{I^2} = \dfrac{{O{A^2} + O{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4} \Rightarrow O{A^2} + O{B^2} = 8.$

Theo BĐT Bunhiascopky ta có:$2\left( {O{A^2} + O{B^2}} \right) \ge {\left( {OA + OB} \right)^2} \Rightarrow OA + OB \le 4.$

Ta có $5w = \left( {2 + i} \right)\left( {z - 4} \right) \Leftrightarrow 5w + 5i = \left( {2 + i} \right)z - 8 + i \Leftrightarrow 5\left| {w + i} \right| = \left| {\left( {2 + i} \right)z - 8 + i} \right|$

$\Leftrightarrow \left| {\left( {2 + i} \right)z - 8 + i} \right| = 3\sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {2 + i} \right|.\left| {z - \dfrac{{8 - i}}{{2 + i}}} \right| = 3\sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {z - \dfrac{{8 - i}}{{2 + i}}} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {z - 3 + 2i} \right| = 3$

$\Rightarrow$Tập hợp điểm $M\left( z \right)$ là đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9,$ tâm $I\left( {3; - \,2} \right),\,\,R = 3.$

Gọi $A\left( {1;2} \right),\,\,B\left( {5;2} \right)$ và $E\left( {3;2} \right)$ là trung điểm của $AB$ suy ra $P = MA + MB$.

Lại có ${\left( {MA + MB} \right)^2} \le 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = 4.M{E^2} + A{B^2}$$\Rightarrow \,\,P$ lớn nhất $\Leftrightarrow$$ME$ lớn nhất.

Mà $IE = 4 > R = 3$ Vậy ${P_{\max }} = \sqrt {4.M{E^2} + A{B^2}}  = 2\sqrt {53} .$