Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 2,\,\,\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 3 \). Gọi M, N là các điểm biểu diễn cho \({z_1}\) và \(i{z_2}\). Biết \(\widehat {MON} = {30^0}\). Tính \(S = \left| {z_1^2 + 4z_2^2} \right|\) ?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Đặt \({z_3} = i{z_2} \Rightarrow z_3^2 = - z_2^2 \Rightarrow S = \left| {z_1^2 + 4z_2^2} \right| = \left| {z_1^2 - 4z_3^2} \right| = \left| {{z_1} - 2{z_3}} \right|\left| {{z_1} + 2{z_3}} \right|\)
M, N là các điểm biểu diễn cho \({z_1},{z_3} \Rightarrow OM = 2,\,\,ON = \left| {{z_3}} \right| = \left| {i{z_2}} \right| = \left| i \right|.\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 3 \).
Gọi P là điểm biểu diễn cho \(2{z_3}\) và \(Q\) là điểm biểu diễn cho \( - 2{z_3}\) , ta có N là trung điểm của OP và P, Q đối xứng nhau qua O. Khi đó \(S = MP.MQ\).
Áp dụng định lí Cosin trong \(\Delta OMP\) có:
\(M{P^2} = O{P^2} + O{M^2} - 2OP.OM.\cos 30 = 12 + 4 - 2.2\sqrt 3 .2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 4 \Rightarrow MP = 2\)Áp dụng định lí Cosin trong \(\Delta OMQ\) có:
\(\begin{array}{l}M{Q^2} = O{M^2} + O{Q^2} - 2OM.OQ.\cos {150^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4 + 12 + 2.2.2\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 7 \\ \Rightarrow S = MP.MQ = 2.2\sqrt 7 = 4\sqrt 7 \end{array}\)
Hướng dẫn giải:
Tìm các điểm biểu diễn và đưa về bài toán hình học.
Câu hỏi khác
- Bài tập số phức và các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức toán 12 có lời giải
- Bài tập phương trình bậc hai với hệ số thực (căn bậc hai của số phức) toán 12 có lời giải
- Bài tập tìm min, max liên quan đến số phức có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập dạng lượng giác của số phức toán 12 có lời giải
