Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right|\left( {z - 5 - i} \right) + 2i = \left( {6 - i} \right)z?\)

Ta có: \(\left| z \right|\left( {z - 5 - i} \right) + 2i = \left( {6 - i} \right)z\)

\( \Leftrightarrow \left| z \right|.z - 5\left| z \right| - \left| z \right|i + 2i = \left( {6 - i} \right)z \Leftrightarrow z\left( {\left| {z } \right|} - 6 + i \right) = 5\left| z \right| + \left( {\left| z \right| - 2} \right)i\;\;\;\left( * \right)\)

Lấy modul 2 vế của phương trình \(\left( * \right)\) ta được: \(\left| z \right|\sqrt {{{\left( {\left| z \right| - 6} \right)}^2} + 1}  = \sqrt {25\left| {{z^2}} \right| + {{\left( {\left| z \right| - 2} \right)}^2}} \;\;\;\;\left( 1 \right)\)

Đặt \(x = \left| z \right|\;\;\left( {x \ge 0} \right).\)  Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow x\sqrt {{{\left( {x - 6} \right)}^2} + 1}  = \sqrt {25{x^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 12x + 36 + 1} \right) = 25{x^2} + {x^2} - 4x + 4\\ \Leftrightarrow {x^4} - 12{x^3} + 36{x^2} + {x^2} = 26{x^2} - 4x + 4\\ \Leftrightarrow {x^4} - 12{x^3} + 11{x^2} + 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 11{x^2} + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\{x^3} - 11{x^2} + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\;\;\left( {tm} \right)\\x \approx 10,97\;\;\;\left( {tm} \right)\\x \approx 0,62\;\;\;\left( {tm} \right)\\x \approx  - 0,59\;\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| z \right| = 1\;\\\left| z \right| \approx 10,97\;\\\left| z \right| \approx 0,62\;\end{array} \right..\end{array}\)

Thay các \(\left| z \right|\) vào phương trình đã cho ta sẽ nhận được 3 số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.