Câu hỏi:
2 năm trước
Cho các số phức \({z_1};{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 3;\,\,\left| {{z_2}} \right| = 4\) và chúng được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần lượt là các điểm M, N. Biết góc giữa vector \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {ON} \) bằng \(60^0\). Tìm môđun của số phức \(z = \dfrac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} - {z_2}}}\) ?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có \(OM = 3;\,\,ON = 4\) ; \(\widehat {\left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON} } \right)} = {60^0} \Rightarrow \widehat {\left( {OM;ON} \right)} = {60^0}\).
\(\left| z \right| = \dfrac{{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|}}{{\left| {{z_1} - {z_2}} \right|}} = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {ON} } \right|}} = \dfrac{{2\left| {\overrightarrow {OI} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}} = \dfrac{{2OI}}{{MN}}\) (với I là trung điểm của MN).
Áp dụng định lí cosin trong tam giác OMN có \(MN = \sqrt {O{M^2} + O{N^2} - 2OM.ON.\cos \left( {OM;ON} \right)} = \sqrt {13} \)
OI là đường trung tuyến của tam giác OMN \( \Rightarrow OI = \sqrt {\dfrac{{O{M^2} + O{N^2}}}{2} - \dfrac{{M{N^2}}}{4}} = \dfrac{{\sqrt {37} }}{2}\)
Vậy \(\left| z \right| = \dfrac{{2.\dfrac{{\sqrt {37} }}{2}}}{{\sqrt {13} }} = \dfrac{{\sqrt {481} }}{{13}}\).
Hướng dẫn giải:
\(\left| z \right| = \dfrac{{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|}}{{\left| {{z_1} - {z_2}} \right|}} = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {ON} } \right|}} = \dfrac{{2\left| {\overrightarrow {OI} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}} = \dfrac{{2OI}}{{MN}}\)(với I là trung điểm của MN).
Sử dụng các công thức của định lí cosin trong tam giác và công thức tính độ dài đường trung tuyến.
Câu hỏi khác
- Bài tập số phức và các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức toán 12 có lời giải
- Bài tập phương trình bậc hai với hệ số thực (căn bậc hai của số phức) toán 12 có lời giải
- Bài tập điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập tìm min, max liên quan đến số phức có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập dạng lượng giác của số phức toán 12 có lời giải
