Cho \(z = 1 - 3i\) là một căn bậc hai của \(w = - 8 - 6i\). Chọn kết luận đúng:
Do \(z = 1 - 3i\) là một căn bậc hai của \(w = - 8 - 6i\) nên \({\left( {1 - 3i} \right)^2} = - 8 - 6i\).
Biết số phức \(z = 2 + 3i\) là một căn bậc hai của số phức \(w = - 5 + 12i\). Một căn bậc hai khác của \(w = - 5 + 12i\) là:
Vì \(z = 2 + 3i\) là một căn bậc hai của số phức \(w = - 5 + 12i\) nên căn bậc hai còn lại là số đối của \(z\) chính là \( - 2 - 3i\).
Chọn kết luận đúng:
Số phức \( - 3\) có hai căn bậc hai là \( \pm i\sqrt 3 \) vì \({\left( { \pm i\sqrt 3 } \right)^2} = - 3\).
Phương trình: $8{z^2} - 4z + 1 = 0$ có nghiệm là:
Phương trình: $8{z^2} - 4z + 1 = 0$
Có: $\Delta ' = 4 - 8 = - 4 = 4{i^2}$
$ \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {4{i^2}} = 2i$
\( \Rightarrow \) Phương trình có $2$ nghiệm là: ${z_1} = \dfrac{{2 + 2i}}{8} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}i;{z_2} = \dfrac{{2 - 2i}}{8} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4}i$
Nghiệm của phương trình: ${z^2} + (1 - i)z - 18 + 13i = 0$ là:
Phương trình: \({z^2} + (1 - i)z - 18 + 13i = 0\)
Có: \(\Delta = {\left( {1 - i} \right)^2} - 4( - 18 + 13i) = 1 - 2i + {i^2} + 72 - 52i\)
\( = 72 - 54i = 81 - 2.9.3i + 9{i^2} = {\left( {9 - 3i} \right)^2}\)
\( \Rightarrow \delta = 9 - 3i\) là một căn bậc hai của \(\Delta \).
\( \Rightarrow \) Phương trình có \(2\) nghiệm là: \({z_1} = \dfrac{{ - 1 + i + 9 - 3i}}{2} = 4 - i;\) \({z_2} = \dfrac{{ - 1 + i - 9 + 3i}}{2} = - 5 + 2i\)
Chọn kết luận đúng về phương trình bậc hai (hệ số thực) trên tập số phức:
Phương trình bậc hai trên tập số phức luôn có ít nhất \(1\) nghiệm nên C đúng.
Trong $C$, cho phương trình $a{z^2} + bz + c = 0(a \ne 0)(*),a,b,c\in R$. Gọi $\Delta = {b^2} - 4ac$, ta xét các mệnh đề sau:
1) Nếu \(\Delta \) là số thực âm thì phương trình (*) vô nghiệm
2) Nếu \(\Delta \ne 0\) thì phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt
3) Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình (*) có nghiệm kép
Trong các mệnh đề trên
1) Sai vì nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình có $2$ nghiệm phức
2) Đúng
3) Đúng
Vậy có $2$ mệnh đề đúng
Các nghiệm ${z_1} = \dfrac{{ - 1 - 5i\sqrt 5 }}{3};{z_2} = \dfrac{{ - 1 + 5i\sqrt 5 }}{3}$ là nghiệm của phương trình nào sau đây:
Ta có: ${z_1} + {z_2} = \dfrac{{ - 1 - 5i\sqrt 5 }}{3} + \dfrac{{ - 1 + 5i\sqrt 5 }}{3} = \dfrac{{ - 2}}{3}$
${z_1}.{z_2} = \dfrac{{ - 1 - 5i\sqrt 5 }}{3}.\dfrac{{ - 1 + 5i\sqrt 5 }}{3} = \dfrac{{126}}{9} = \dfrac{{42}}{3}$
$ \Rightarrow {z_1};{z_2}$ là các nghiệm của phương trình: ${z^2} + \dfrac{2}{3}z + \dfrac{{42}}{3} = 0 \Leftrightarrow 3{z^2} + 2z + 42 = 0$
Gọi ${z_1};{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình: ${z^2} + 2z + 4 = 0$. Giá trị của biểu thức $A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}$ là:
Phương trình: ${z^2} + 2z + 4 = 0$
Có: $\Delta ' = 1 - 4 = - 3 = 3{i^2}$
$ \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {3{i^2}} = i\sqrt 3 $
Phương trình có $2$ nghiệm là: ${z_1} = - 1 + i\sqrt 3 ;{z_2} = - 1 - i\sqrt 3 $
$ \Rightarrow A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = {\left| { - 1 + i\sqrt 3 } \right|^2} + {\left| { - 1 - i\sqrt 3 } \right|^2} = {\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} ^2} + {\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} ^2} = 8$
Gọi ${z_1};{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình: $2{z^2} + 4z + 3 = 0$. Giá trị của biểu thức $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$ bằng:
Phương trình: $2{z^2} + 4z + 3 = 0$
Có: $\Delta ' = 4 - 6 = - 2 = 2{i^2}$
$ \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {2{i^2}} = i\sqrt 2 $
Phương trình có $2$ nghiệm là: ${z_1} = \dfrac{{ - 2 + i\sqrt 2 }}{2} = - 1 + \dfrac{{i\sqrt 2 }}{2};{z_2} = \dfrac{{ - 2 - i\sqrt 2 }}{2} = - 1 - \dfrac{{i\sqrt 2 }}{2}$
$ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \left| { - 1 + \dfrac{{i\sqrt 2 }}{2}} \right| + \left| { - 1 - \dfrac{{i\sqrt 2 }}{2}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 6 $
Cho \({z_1}\), \({z_2}\) là hai số phức thỏa mãn \({z^2} - 4z + 5 = 0\). Tính giá trị biểu thức \(P = {\left( {{z_1} - 1} \right)^{2017}} + {\left( {{z_2} - 1} \right)^{2017}}\).
Biệt số \(\Delta = 16 - 20 = - 4 = {\left( {2i} \right)^2}\).
Do đó phương trình có hai nghiệm phức: \({z_1} = \dfrac{{4 - 2i}}{2} = 2 - i\) và \({z_2} = \dfrac{{4 + 2i}}{2} = 2 + i\).
Suy ra \(P = {\left( {1 - i} \right)^{2017}} + {\left( {1 + i} \right)^{2017}} = \left( {1 - i} \right).{\left[ {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right]^{1008}} + \left( {1 + i} \right){\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{1008}}\)
\( = \left( {1 - i} \right).{\left( { - 2i} \right)^{1008}} + \left( {1 + i} \right){\left( {2i} \right)^{1008}} = \left( {1 - i} \right){.2^{1008}} + \left( {1 + i} \right){.2^{1008}} = {2^{1009}}.\)
Gọi ${z_1}$, ${z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} - 2z + 2 = 0$. Tính giá trị biểu thức $P = z_1^{2016} + z_2^{2016}.$
Biệt số $\Delta = 4 - 8 = - 4 = {\left( {2i} \right)^2}$.
Do đó phương trình có hai nghiệm phức: ${z_1} = \dfrac{{2 - 2i}}{2} = 1 - i$ và ${z_2} = \dfrac{{2 + 2i}}{2} = 1 + i$.
Suy ra $z_1^{2016} = {\left( {1 - i} \right)^{2016}} = {\left[ {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right]^{1008}} = {\left( { - 2i} \right)^{1008}} = {\left( { - 2} \right)^{1008}}.{i^{1008}} = {2^{1008}}.1 = {2^{1008}}$;
$z_2^{2016} = {\left( {1 + i} \right)^{2016}} = {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{1008}} = {\left( {2i} \right)^{1008}} = {2^{1008}}.{i^{1008}} = {2^{1008}}.1 = {2^{1008}}$.
Vậy $P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {2^{1008}} + {2^{1008}} = {2^{1009}}$.
Gọi \({z_1}\) và \({z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính giá trị biểu thức \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}.\)
Ta có \({z^2} + 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + 1} \right)^2} = {\left( {3i} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - 1 + 3i = {z_1}\\z = - 1 - 3i = {z_2}\end{array} \right..\)
Suy ra \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = {\left( {\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} } \right)^2} = 10 + 10 = 20\).
Phương trình: ${z^2} + az + b = 0$ \(\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) có một nghiệm phức là $z = 1 + 2i$ . Tổng $2$ số $a$ và $b$ bằng
Vì $z = 1 + 2i$ là nghiệm của phương trình nên:
${\left( {1 + 2i} \right)^2} + a\left( {1 + 2i} \right) + b = 0$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + 4i + 4{i^2} + a + 2ai + b = 0\\ \Leftrightarrow (2a + 4)i + a + b - 3 = 0\end{array}$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 4 = 0\\a + b - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 5\end{array} \right.\; \Rightarrow a + b = - 2 + 5 = 3$
Giả sử ${z_1};{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình: ${z^2} - 2z + 5 = 0$ và $A,B$ là các điểm biểu diễn của ${z_1};{z_2}$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là
Phương trình: ${z^2}-2z + 5 = 0$
Có: $\Delta ' = 1 - 5 = - 4 = 4{i^2}$
$ \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {4{i^2}} = 2i$
\( \Rightarrow \) Phương trình có $2$ nghiệm là: ${z_1} = 1 + 2i;{z_2} = 1 - 2i$
Khi đó: $A\left( {1;2} \right),B(1; - 2)$
Tọa độ trung điểm đoạn thẳng $AB$ là: $\left( {1;0} \right)$
Cho $z = 2 + 3i$ là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc $2$ với hệ số thực nhận $z$ và $\overline z $ làm nghiệm
Ta có: $z = 2 + 3i;\overline z = 2 - 3i$
Nếu $z$ và $\overline z $ là $2$ nghiệm của một phương trình thì:
$\left[ {z - (2 + 3i)} \right]\left[ {z - (2 - 3i)} \right] = 0$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {z^2} - (2 - 3i)z - (2 + 3i)z + (2 + 3i)(2 - 3i) = 0\\ \Leftrightarrow {z^2} - 4z + 13 = 0\end{array}$
Đề chính thức ĐGNL HCM 2019
Cho \({z_1},{z_2},{z_3}\) là nghiệm phức của phương trình : \({z^3} + 8 = 0\) Khi đó \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right|\) bằng
\({z^3} + 8 = 0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - 2\\z = 1 + i\sqrt 3 \\z = 1 - i\sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| = 6\)
Cho số phức $w$ và hai số thực $a,{\rm{ }}b.$ Biết rằng $w + i$ và $2w - 1$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + az + b = 0.$ Tính tổng $S = a + b.$
Giả sử $w = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right).$
Do $w + i$ và $2w - 1$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + az + b = 0$ nên suy ra $w + i$ và $2w - 1$ là hai số phức liên hợp.
Suy ra $2w - 1 = \overline {w + i} = \bar w - i$ $ \Rightarrow 2\left( {x + yi} \right) - 1 = x - yi - i$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = x\\2y = - y - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$
Suy ra $w = 1 - \dfrac{1}{3}i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}w + i = 1 + \dfrac{2}{3}i\\2w - 1 = 1 - \dfrac{2}{3}i\end{array} \right..$
Theo định lý Viet, ta có $\left\{ \begin{array}{l}w + i + 2w - 1 = - a\\\left( {w + i} \right)\left( {2w - 1} \right) = b\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = \dfrac{{13}}{9}\end{array} \right. \Rightarrow a + b = - \dfrac{5}{9}$
Gọi ${z_1},{z_2}$ là các nghiệm của phương trình: $z + \dfrac{1}{z} = - 1$. Giá trị của $P = {z_1}^3 + {z_2}^3$ là:
Phương trình: $z + \dfrac{1}{z} = - 1 \Leftrightarrow {z^2} + z + 1 = 0$
Ta có: ${z_1} + {z_2} = - 1;{z_1}.{z_2} = 1$
Khi đó $P = {z_1}^3 + {z_2}^3 = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {{z_1}^2 - {z_1}{z_2} + {z_2}^2} \right) = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 3{z_1}{z_2}} \right] = - 1.(1 - 3) = 2$
Gọi ${z_1}$ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình: ${z^2} + 4z + 20 = 0$. Khi đó giá trị biểu thức $A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + 2\left( {{z_1}^2 + {z_2}^2} \right)$ bằng
Phương trình : ${z^2} + 4z + 20 = 0$
Có: $\Delta ' = 4 - 20 = - 16 = 16{i^2}$
$ \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {16{i^2}} = 4i$
Phương trình có $2$ nghiệm là: ${z_1} = - 2 - 4i;{z_2} = - 2 + 4i$
Khi đó: ${\left| {{z_1}} \right|^2} = {( - 2)^2} + {\left( { - 4} \right)^2} = 20$ và ${z_1} + {z_2} = - 4;{z_1}.{z_2} = 20$
$ \Rightarrow \left( {{z_1}^2 + {z_2}^2} \right) = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}.{z_2} = {\left( { - 4} \right)^2} - 2.20 = - 24$
Vậy $A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + 2\left( {{z_1}^2 + {z_2}^2} \right) = 20 + 2( - 24) = - 28$
