Phương trình bậc hai với hệ số thực (căn bậc hai của số phức)

Do $z = 1 - 3i$ là một căn bậc hai của $w =  - 8 - 6i$ nên ${\left( {1 - 3i} \right)^2} =  - 8 - 6i$.

Vì $z = 2 + 3i$ là một căn bậc hai của số phức $w =  - 5 + 12i$ nên căn bậc hai còn lại là số đối của $z$ chính là $- 2 - 3i$.

Số phức $- 3$ có hai căn bậc hai là $\pm i\sqrt 3$ vì ${\left( { \pm i\sqrt 3 } \right)^2} =  - 3$.

Phương trình: $8{z^2} - 4z + 1 = 0$

Có: $\Delta ' = 4 - 8 =  - 4 = 4{i^2}$

$\Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = \sqrt {4{i^2}}  = 2i$

 $\Rightarrow$ Phương trình có $2$  nghiệm là: ${z_1} = \dfrac{{2 + 2i}}{8} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}i;{z_2} = \dfrac{{2 - 2i}}{8} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4}i$

Phương trình: ${z^2} + (1 - i)z - 18 + 13i = 0$

Có: $\Delta  = {\left( {1 - i} \right)^2} - 4( - 18 + 13i) = 1 - 2i + {i^2} + 72 - 52i$

$= 72 - 54i = 81 - 2.9.3i + 9{i^2} = {\left( {9 - 3i} \right)^2}$

$\Rightarrow \delta  = 9 - 3i$ là một căn bậc hai của $\Delta$.

 $\Rightarrow$ Phương trình có $2$  nghiệm là: ${z_1} = \dfrac{{ - 1 + i + 9 - 3i}}{2} = 4 - i;$ ${z_2} = \dfrac{{ - 1 + i - 9 + 3i}}{2} =  - 5 + 2i$

Phương trình bậc hai trên tập số phức luôn có ít nhất $1$ nghiệm nên C đúng.

1) Sai vì nếu $\Delta  < 0$ thì phương trình có $2$  nghiệm phức

2) Đúng

3) Đúng

Vậy có $2$  mệnh đề đúng

Ta có: ${z_1} + {z_2} = \dfrac{{ - 1 - 5i\sqrt 5 }}{3} + \dfrac{{ - 1 + 5i\sqrt 5 }}{3} = \dfrac{{ - 2}}{3}$

           ${z_1}.{z_2} = \dfrac{{ - 1 - 5i\sqrt 5 }}{3}.\dfrac{{ - 1 + 5i\sqrt 5 }}{3} = \dfrac{{126}}{9} = \dfrac{{42}}{3}$

$\Rightarrow {z_1};{z_2}$ là các nghiệm của phương trình: ${z^2} + \dfrac{2}{3}z + \dfrac{{42}}{3} = 0 \Leftrightarrow 3{z^2} + 2z + 42 = 0$

Phương trình: ${z^2} + 2z + 4 = 0$

Có: $\Delta ' = 1 - 4 =  - 3 = 3{i^2}$

       $\Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = \sqrt {3{i^2}}  = i\sqrt 3$

Phương trình có $2$ nghiệm là: ${z_1} =  - 1 + i\sqrt 3 ;{z_2} =  - 1 - i\sqrt 3$

$\Rightarrow A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = {\left| { - 1 + i\sqrt 3 } \right|^2} + {\left| { - 1 - i\sqrt 3 } \right|^2} = {\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} ^2} + {\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} ^2} = 8$

Phương trình: $2{z^2} + 4z + 3 = 0$

Có: $\Delta ' = 4 - 6 =  - 2 = 2{i^2}$

       $\Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = \sqrt {2{i^2}}  = i\sqrt 2$

Phương trình có $2$  nghiệm là: ${z_1} = \dfrac{{ - 2 + i\sqrt 2 }}{2} =  - 1 + \dfrac{{i\sqrt 2 }}{2};{z_2} = \dfrac{{ - 2 - i\sqrt 2 }}{2} =  - 1 - \dfrac{{i\sqrt 2 }}{2}$

$\Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \left| { - 1 + \dfrac{{i\sqrt 2 }}{2}} \right| + \left| { - 1 - \dfrac{{i\sqrt 2 }}{2}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt 6$

Biệt số $\Delta  = 16 - 20 =  - 4 = {\left( {2i} \right)^2}$.

Do đó phương trình có hai nghiệm phức: ${z_1} = \dfrac{{4 - 2i}}{2} = 2 - i$ và ${z_2} = \dfrac{{4 + 2i}}{2} = 2 + i$.

Suy ra $P = {\left( {1 - i} \right)^{2017}} + {\left( {1 + i} \right)^{2017}} = \left( {1 - i} \right).{\left[ {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right]^{1008}} + \left( {1 + i} \right){\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{1008}}$

$= \left( {1 - i} \right).{\left( { - 2i} \right)^{1008}} + \left( {1 + i} \right){\left( {2i} \right)^{1008}} = \left( {1 - i} \right){.2^{1008}} + \left( {1 + i} \right){.2^{1008}} = {2^{1009}}.$

Biệt số $\Delta  = 4 - 8 =  - 4 = {\left( {2i} \right)^2}$.

Do đó phương trình có hai nghiệm phức: ${z_1} = \dfrac{{2 - 2i}}{2} = 1 - i$ và ${z_2} = \dfrac{{2 + 2i}}{2} = 1 + i$.

Suy ra       $z_1^{2016} = {\left( {1 - i} \right)^{2016}} = {\left[ {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right]^{1008}} = {\left( { - 2i} \right)^{1008}} = {\left( { - 2} \right)^{1008}}.{i^{1008}} = {2^{1008}}.1 = {2^{1008}}$;

                   $z_2^{2016} = {\left( {1 + i} \right)^{2016}} = {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{1008}} = {\left( {2i} \right)^{1008}} = {2^{1008}}.{i^{1008}} = {2^{1008}}.1 = {2^{1008}}$.

Vậy $P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {2^{1008}} + {2^{1008}} = {2^{1009}}$.

Ta có ${z^2} + 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + 1} \right)^2} = {\left( {3i} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  - 1 + 3i = {z_1}\\z =  - 1 - 3i = {z_2}\end{array} \right..$

Suy ra $P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = {\left( {\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} } \right)^2} = 10 + 10 = 20$.

Vì $z = 1 + 2i$ là nghiệm của phương trình nên:

         ${\left( {1 + 2i} \right)^2} + a\left( {1 + 2i} \right) + b = 0$               

         $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + 4i + 4{i^2} + a + 2ai + b = 0\\ \Leftrightarrow (2a + 4)i + a + b - 3 = 0\end{array}$

        $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 4 = 0\\a + b - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 5\end{array} \right.\; \Rightarrow a + b =  - 2 + 5 = 3$

Phương trình: ${z^2}-2z + 5 = 0$

Có: $\Delta ' = 1 - 5 =  - 4 = 4{i^2}$

   $\Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = \sqrt {4{i^2}}  = 2i$

$\Rightarrow$ Phương trình có $2$  nghiệm là: ${z_1} = 1 + 2i;{z_2} = 1 - 2i$

Khi đó: $A\left( {1;2} \right),B(1; - 2)$

Tọa độ trung điểm đoạn thẳng $AB$ là: $\left( {1;0} \right)$

Ta có: $z = 2 + 3i;\overline z  = 2 - 3i$

Nếu $z$ và $\overline z$ là $2$  nghiệm của một phương trình thì:

               $\left[ {z - (2 + 3i)} \right]\left[ {z - (2 - 3i)} \right] = 0$

               $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {z^2} - (2 - 3i)z - (2 + 3i)z + (2 + 3i)(2 - 3i) = 0\\ \Leftrightarrow {z^2} - 4z + 13 = 0\end{array}$

${z^3} + 8 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  - 2\\z = 1 + i\sqrt 3 \\z = 1 - i\sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| = 6$

Giả sử $w = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right).$

Do $w + i$ và $2w - 1$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + az + b = 0$ nên suy ra $w + i$ và $2w - 1$ là hai số phức liên hợp.

Suy ra $2w - 1 = \overline {w + i}  = \bar w - i$ $\Rightarrow 2\left( {x + yi} \right) - 1 = x - yi - i$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = x\\2y =  - y - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$

Suy ra $w = 1 - \dfrac{1}{3}i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}w + i = 1 + \dfrac{2}{3}i\\2w - 1 = 1 - \dfrac{2}{3}i\end{array} \right..$

Theo định lý Viet, ta có $\left\{ \begin{array}{l}w + i + 2w - 1 =  - a\\\left( {w + i} \right)\left( {2w - 1} \right) = b\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = \dfrac{{13}}{9}\end{array} \right. \Rightarrow a + b =  - \dfrac{5}{9}$

Phương trình: $z + \dfrac{1}{z} =  - 1 \Leftrightarrow {z^2} + z + 1 = 0$

Ta có: ${z_1} + {z_2} =  - 1;{z_1}.{z_2} = 1$

Khi đó $P = {z_1}^3 + {z_2}^3 = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {{z_1}^2 - {z_1}{z_2} + {z_2}^2} \right) = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 3{z_1}{z_2}} \right] =  - 1.(1 - 3) = 2$

Phương trình : ${z^2} + 4z + 20 = 0$

Có: $\Delta ' = 4 - 20 =  - 16 = 16{i^2}$

      $\Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = \sqrt {16{i^2}}  = 4i$

Phương trình có $2$  nghiệm là: ${z_1} =  - 2 - 4i;{z_2} =  - 2 + 4i$

Khi đó:  ${\left| {{z_1}} \right|^2} = {( - 2)^2} + {\left( { - 4} \right)^2} = 20$ và ${z_1} + {z_2} =  - 4;{z_1}.{z_2} = 20$

       $\Rightarrow \left( {{z_1}^2 + {z_2}^2} \right) = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}.{z_2} = {\left( { - 4} \right)^2} - 2.20 =  - 24$

Vậy $A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + 2\left( {{z_1}^2 + {z_2}^2} \right) = 20 + 2( - 24) =  - 28$