Tính tích phân $I = \int\limits_0^3 {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{x + 2}}} $.
Ta có $I = \int\limits_0^3 {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{x + 2}}} = \left. {\ln \left| {x + 2} \right|} \right|_0^3 = \ln 5 - \ln 2 = \ln \dfrac{5}{2}.$
Cho $\int\limits_1^2 {\dfrac{1}{{{x^2} + 5x + 6}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5$ với $a,b,c \in \mathbb{Z}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
$\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\dfrac{1}{{{x^2} + 5x + 6}}dx} = \int\limits_1^2 {\dfrac{1}{{(x + 2)(x + 3)}}dx} = \left. {\left( {\ln \left| {x + 2} \right| - \ln \left| {x + 3} \right|} \right)} \right|_1^2 = \ln 4 - \ln 5 - \ln 3 + \ln 4\\{\rm{\;}} = 4\ln 2 - \ln 3 - \ln 5 = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5,\left( {a,b,c \in Z} \right)\\{\rm{\;}} \Rightarrow a = 4;b = - 1,c = - 1 \Rightarrow a + b + c = 2\end{array}$
Biết tích phân $\int_0^1 {\dfrac{{2x + 3}}{{2 - x}}dx} {\rm{\;}} = a\ln 2 + b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a,b \in \mathbb{Z})$, giá trị của a bằng
$\begin{array}{*{20}{l}}{\int_0^1 {\dfrac{{2x + 3}}{{2 - x}}dx} {\rm{\;}} = \int_0^1 {\dfrac{{2x - 4 + 7}}{{2 - x}}dx} {\rm{\;}} = \int_0^1 {\left( { - 2 - \dfrac{7}{{x - 2}}} \right)dx} {\rm{\;}} = \left. {\left( { - 2x - 7\ln \left| {x - 2} \right|} \right)} \right|_0^1}\\{ = {\rm{\;}} - 2 + 7\ln 2 = a\ln 2 + b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a,b \in Z)}\\{ \Rightarrow a = 7,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = {\rm{\;}} - 2}\end{array}$
Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 5}^0 {\left| {{x^2} + 4x + 3} \right|dx} \) ta được kết quả là \(I = \dfrac{a}{b}\) với \(a,b\) nguyên dương và phân số \(\dfrac{a}{b}\) tối giản. Khi đó \(a - b\) có giá trị là:
Ta có: \(f\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3 = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\)
\(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > - 1\\x < - 3\end{array} \right.\) và \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < - 1\)
Khi đó,
\(I = \int\limits_{ - 5}^0 {\left| {{x^2} + 4x + 3} \right|dx} \) \( = \int\limits_{ - 5}^{ - 3} {\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)dx} \) \( + \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left[ { - \left( {{x^2} + 4x + 3} \right)} \right]dx} \) \( + \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x} \right)} \right|_{ - 5}^{ - 3}\) \( - \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x} \right)} \right|_{ - 3}^{ - 1}\) \( + \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x} \right)} \right|_{ - 1}^0\)
\( = 0 + \dfrac{{20}}{3} - \left( { - \dfrac{4}{3} - 0} \right) + \left( {0 + \dfrac{4}{3}} \right) = \dfrac{{28}}{3}\)
Do đó \(a = 28,b = 3\) hay \(a - b = 25\).
Biết \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{3{{x}^{2}}+5x+4}{{{x}^{2}}+x+1}dx=a+b\ln 7+c\ln 3}\) (a,b,c là các số nguyên) khi đó \(a+b+c\) bằng
\(\begin{align} & I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{3{{x}^{2}}+5x+4}{{{x}^{2}}+x+1}dx=}\int\limits_{1}^{2}{\frac{\left( 3{{x}^{2}}+3x+3 \right)+\left( 2x+1 \right)}{{{x}^{2}}+x+1}dx=}\int\limits_{1}^{2}{\left( 3+\frac{2x+1}{{{x}^{2}}+x+1} \right)dx=}\int\limits_{1}^{2}{3dx+\int\limits_{1}^{2}{\frac{2x+1}{{{x}^{2}}+x+1}dx}} \\ & =\left. 3x \right|_{1}^{2}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{d({{x}^{2}}+x+1)}{{{x}^{2}}+x+1}=}\left. 3x \right|_{1}^{2}+\ln \left. \left| {{x}^{2}}+x+1 \right| \right|_{1}^{2}=3+\ln 7-\ln 3 \\\end{align}\)
\(\Rightarrow a=3,\,\,b=1,\,\,c=-1\Rightarrow a+b+c=3\)
\(\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx} \) \( = 5 - \left( { - 4} \right) = 9\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103
Nếu \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 2\) thì \(\int\limits_0^3 {3f\left( x \right)dx} \) bằng:
Ta có \(\int\limits_0^3 {3f\left( x \right)dx} = 3\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 3.2 = 6\).
Đề thi THPT QG 2019 – mã đề 104
Biết \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 2\) và \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} dx = - 4\), khi đó \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx\) bằng
\(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = 2 + \left( { - 4} \right) = - 2\).
Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104
Nếu \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx = 4} \) và \(\int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx = - 3} \) thì \(\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng
Ta có: \(\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \)\(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx = 4 - \left( { - 3} \right) = 7} \)
Cho \(\int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} = 3;\,\,\int\limits_0^2 {2f\left( x \right)dx} = 4.\) Tính \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} .\)
Ta có: \(\int\limits_0^2 {2f\left( x \right)dx} = 4\) \( \Leftrightarrow 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4\)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 2\)
\( \Rightarrow I = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 3 + 2 = 5.\)
Nếu \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 3\) thì \(\int\limits_1^2 {2f\left( x \right)dx} \) bằng:
Ta có: \(\int\limits_1^2 {2f\left( x \right)dx} = 2\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 2.3 = 6.\)
Cho \(\int\limits_2^6 {f\left( x \right)dx = 4} \) và \(\int\limits_2^6 {g\left( x \right)dx = 5,} \) khi đó \(\int\limits_2^6 {\left[ {3f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng:
Ta có: \(\int\limits_2^6 {\left[ {3f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \) \( = 3\int\limits_2^6 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_2^6 {g\left( x \right)dx} \)\( = 3.4 - 5 = 7.\)
Nếu \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 6\) thì \(\int\limits_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) - 1} \right]dx} \) bằng:
Ta có: \(\int\limits_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) - 1} \right]dx} = 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^2 {1dx} \) \( = 2.6 - \left. x \right|_0^2 = 12 - \left( {2 - 0} \right) = 10\).
Biết \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 2} \) và \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 6.\) Khi đó \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
Ta có: \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) \( = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = 2 + 6 = 8.\)
Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;\,\,b} \right].\) Tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) bằng:
Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;\,\,b} \right].\)
Khi đó ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right).\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\3{x^2} + 2\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\). Giả sử \(F\) là nguyên hàm của \(f\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Giá trị của \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\) bằng:
Cách 1: Không đi tìm hàm \(F\left( x \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {F\left( { - 1} \right) - F\left( 0 \right)} \right] + 2\left[ {F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)} \right] + 3F\left( 0 \right)\\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)dx} + 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + 3F\left( 0 \right)\end{array}\)
(Hàm số \(F\left( x \right)\) là hàm số thay đổi công thức tại \(x = 1\), nhưng liên tục tại \(x = 1\), nên việc ta khẳng định \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)\) là hoàn toàn chặt chẽ bản chất và việc phân đoạn tích phân vẫn đúng).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)dx} + 2\left[ {\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} } \right] + 3.2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {\left( {3{x^2} + 2} \right)dx} + 2\left[ {\int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 2} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {2x + 3} \right)dx} } \right] + 6\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 21\end{array}\)
Cách 2: Tìm hàm \(F\left( x \right)\).
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\\3{x^2} + 2\end{array} \right. \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + {C_1}\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 2x + {C_2}\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\).
+ Vì \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {0^3} + 2.0 + {C_2} = 2 \Leftrightarrow {C_2} = 2\).
+ Theo giả thiết, \(F\left( x \right)\) là hàm số tồn tại đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).
\( \Rightarrow F\left( x \right)\) tồn tại đạo hàm tại \(x = 1 \Rightarrow F\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).
\( \Rightarrow F\left( {{1^ + }} \right) = F\left( {{1^ - }} \right) = F\left( 1 \right) \Rightarrow 1 + 3 + {C_1} = 1 + 2 + {C_2}\) \( \Rightarrow {C_1} = - 1 + {C_2} = 1\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + 1\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 2x + 2\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + 2.\left( { - 1} \right) + 2 = - 1\\F\left( 2 \right) = {2^2} + 3.2 + 1 = 11\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = - 1 + 2.11 = 21\end{array}\)
Nếu \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 4\) thì \(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]} dx\) bằng:
Ta có: \(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]} dx\) \( = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {dx} \)\( = 4 + \left. x \right|_1^3\)\( = 4 + 3 - 1 = 6.\)
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 2,\,\,\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx = 5} \) thì:
Ta có: \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx} = 5\) \( \Leftrightarrow \left. {f\left( x \right)} \right|_0^1 = 5\) \( \Leftrightarrow f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 5\)\( \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 5 + f\left( 0 \right) = 5 + 2 = 7\)
Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104
Nếu \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx = 3} \) thì \(\int\limits_0^3 {4f\left( x \right)dx} \) bằng
Ta có: \(\int\limits_0^3 {4f\left( x \right)dx} = 4\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx = 4.3 = 12} \)
Nếu \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 5} \) và \(\int\limits_1^2 {\left[ {2f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = 13\) thì \(\int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} \) bằng:
Ta có: \(\int\limits_1^2 {\left[ {2f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = 13\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} = 13\\ \Leftrightarrow 2.5 + \int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} = 13\\ \Leftrightarrow 10 + \int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} = 13\\ \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} = 13 - 10 = 3.\end{array}\)
