Bài tập ôn tập chương 7

Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn $AB$ với $A(3; - 2;3)$ và $B( - 1;2;5)$ được tính bởi

$\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = 1\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = 0\\{z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 4\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;\,0;4} \right)$

Ta có: $d\left( {M,\left( {Oxy} \right)} \right) = |c|$, nên mệnh đề B sai.

Đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\;\;(t \in \mathbb{R})$ nhận véc tơ $\overrightarrow u  = (0;3; - 1)$ làm VTCP. 

$M \in \left( {Oxz} \right){\rm{ }} \Rightarrow M\left( {x{\rm{ ; 0 ; }}z} \right)$

$\overrightarrow {AB}  = \left( {7{\rm{ ; }}3{\rm{ ; }}1} \right){\rm{  }} \Rightarrow AB = \sqrt[{}]{{59}}$

$\overrightarrow {AM}  = \left( {x + 2{\rm{ ;}} - 3{\rm{ ; }}z - 1} \right)$và

$A,B,M$thẳng hàng $\Rightarrow \overrightarrow {AM}  = k.\overrightarrow {AB} {\rm{   }}\left( {k \in \mathbb{R}} \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 7k\\ - 3 = 3k\\z - 1 = k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 9\\ - 1 = k\\z = 0\end{array} \right.$$\Rightarrow M\left( { - 9{\rm{ ; 0 ; }}0} \right)$

$\overrightarrow {BM}  = \left( { - 14{\rm{ ;}} - 6{\rm{ ;}} - 2} \right) \Rightarrow BM = \sqrt[{}]{{236}} = 2\sqrt {59}$

$\overrightarrow {AM}  = \left( { - 7; - 3; - 1} \right) \Rightarrow AM = \sqrt {59}$

$\Rightarrow \dfrac{{AM}}{{BM}} = \dfrac{1}{2}$.

Mặt phẳng $\left( Q \right)$  song song với mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0$ có dạng:

$\left( Q \right):2x - y + 3z + D = 0,{\rm{ }}\left( {D \ne 4} \right)$

Mặt phẳng $\left( Q \right)$  đi qua điểm $A\left( {1;3; - 2} \right)$ ta có: $2.1 - 3 + 3.\left( { - 2} \right) + D = 0 \Leftrightarrow D = 7 \ne 4$(thỏa mãn)

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):2x - y + 3z + 7 = 0$.

$\Delta  \bot \left( P \right) \Rightarrow$${\vec u_\Delta }$cùng phương với ${\vec n_{\left( P \right)}}$.

Ta có VTCP của $\Delta :\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1,1,2} \right)$, VTPT của $\left( \alpha  \right)$: ${\vec n_{\left( \alpha  \right)}} = \left( {1;1;2} \right)$.

Suy ra ${\vec u_\Delta }$cùng phương với ${\vec n_{\left( \alpha  \right)}}$.

Ta có $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;2; - 1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, đồng thời mặt phẳng đi qua $A\left( {1; - 2; - 1} \right)$ nên mặt phẳng cần tìm là: $- \left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 2} \right) - \left( {z + 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow x - 2y + z - 4 = 0$.

$\left( P \right)$ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( \beta  \right)}}} } \right] = \left( {0;\; - 1;\;0} \right)$ và qua $A\left( {1;\; - 3\;2} \right)$$\Rightarrow \left( P \right):y + 3 = 0$

Ta có: $M\left( {2;\,\,0;\,\,0} \right),\,\,N\left( {0;\,\, - 1;\,\,0} \right),\,\,P\left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)$

$\Rightarrow \left( {MNP} \right):\dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x - 2y + 2z - 2 = 0$

Mặt phẳng đi qua $A$ và song song với mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ có phương trình là: $x - 2y + 2z - 6 = 0$.

Ta có véctơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow u \left( {1;1;2} \right)$

Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \beta  \right):x + y - 2z - 1 = 0$ là $\overrightarrow n \left( {1;1; - 2} \right)$.

Vì $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{2}$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \beta  \right):x + y - 2z - 1 = 0$ nên $\left( \alpha  \right)$ có một véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 4;4;0} \right) = 4\left( {1; - 1;0} \right) = 4.\overrightarrow a$

Gọi $d = \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right)$, suy ra $d$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow n } \right] = \left( {2;2;2} \right) = 2\left( {1;1;1} \right)$.

Giao điểm của đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{2}$ và mặt phẳng $\left( \beta  \right):x + y - 2z - 1 = 0$là $I\left( {3;2;2} \right)$.

Suy ra phương trình đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.$.

Vậy $A\left( {2;1;1} \right)$ thuộc đường thẳng $d$.

Ta có:

${d_1}$ đi qua điểm $A\left( {2;0;0} \right)$ và có VTCP ${\vec u_1} = \left( { - 1;1;1} \right)$.

${d_2}$ đi qua điểm $B\left( {0;1;2} \right)$ và có VTCP ${\vec u_2} = \left( {2; - 1; - 1} \right)$

Vì $\left( P \right)$ song song với hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ nên VTPT của $\left( P \right)$ là $\vec n = \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {0;1; - 1} \right)$

Khi đó $\left( P \right)$ có dạng $y - z + D = 0$

$\Rightarrow$loại đáp án A và C.

Lại có $\left( P \right)$ cách đều ${d_1}$ và ${d_2}$ nên $\left( P \right)$ đi qua trung điểm $M\left( {0;\dfrac{1}{2};1} \right)$ của $AB$

Do đó $\left( P \right):2y - 2z + 1 = 0$

Gọi $CK,\,\,AM$ là hai đường cao của tam giác $ABC$.

Suy ra $H = AM \cap CK$.

Ta có: $\left. \begin{array}{l}AB \bot \left( {OKC} \right) \Rightarrow AB \bot OH\\BC \bot \left( {AOM} \right) \Rightarrow BC \bot OH\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)$

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$đi qua điểm $H$ và nhận $\overrightarrow {OH}$ làm một $VTPT$

Nên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có phương trình: $3x - 4y + 2z - 29 = 0$.

Gọi $M\left( {1;1; - 3} \right)$ là trung điểm của cạnh $BC$, ta có $\overrightarrow {AM}  = \left( { - 1;2; - 3} \right) =  - 1.\left( {1; - 2;3} \right)$ là VTCP của đường thẳng nên $AM:\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{3}$

Hai mặt phẳng đã cho có VTPT lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1;3} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3;0; - 7} \right)$

$\Delta$ có VTCP là $\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {7;16;3} \right)$

Ta có $A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {1 + a;2 + 3a;a} \right),$$B \in {d_2} \Rightarrow B\left( { - 1 - b;1 + 2b;2 + 4b} \right)$

$\overrightarrow {MA}  = \left( {a - 2;3a - 1;a + 2} \right),\overrightarrow {MB}  = \left( { - b - 4;2b - 2;4b + 4} \right)$

Ta có $A,B,M$thẳng hàng nên: $\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} \;\left( {k \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 = k\left( { - b - 4} \right)\\3a - 1 = k\left( {2b - 2} \right)\\a + 2 = k\left( {4b + 4} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5ab + 10a - 5b = 0\\5ab + 7a - 4b = 0\\a + 2 = k\left( {4b + 4} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \dfrac{{10}}{9}\end{array} \right.\\a + 2 = k\left( {4b + 4} \right)\end{array} \right.$

Với $a = 0 \Rightarrow b = 0 \Rightarrow A\left( {1;2;0} \right),B\left( { - 1;1;2} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 3$

Với $a = \dfrac{{10}}{9} \Rightarrow b = 20 \Rightarrow A\left( {\dfrac{{19}}{9};\dfrac{{16}}{3};\dfrac{{10}}{9}} \right),B\left( { - 21;41;32} \right)$

Gọi mặt cầu cần tìm là $(S)$.

Ta có $(S)$ là mặt cầu có tâm $I(1;2; - 1)$ và bán kính $R$.

Vì $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P):x - 2y - 2z - 8 = 0$ nên ta có

$R = d(I;(P)) = \dfrac{{\left| {1 - 2.2 - 2.( - 1) - 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 3$.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$.

Mặt phẳng $\left( {Oxz} \right):y = 0$. $I \in \Delta :\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{z}{2} \Rightarrow I\left( {t; - 3 + t;2t} \right)$

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$. $R,{\rm{ }}r$lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn giao tuyến. Theo bài ta có $IH = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  = \sqrt {8 - 4}  = 2$

$\Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 3 + t} \right|}}{1} = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = 5}\end{array}} \right.$ .

Với $t = 1 \Rightarrow I\left( {1; - 2;2} \right)$ , với $t = 5 \Rightarrow I\left( {5;2;10} \right)$.

Do $\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{n_Q}}$ và $M\left( {0;0;4} \right) \in \left( P \right)$ nhưng không thuộc $\left( Q \right)$ nên $\left( P \right)\parallel \left( Q \right)$vậy (1) đúng.

Mặt khác $\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_R}}  = 0$ nên $\left( P \right) \bot \left( R \right)$ nên (2) đúng.

Vậy (1) và (2) đúng.

Ta có: $\overrightarrow u \left( {2; - 1;1} \right)$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$, $\overrightarrow n \left( {1;1; - 1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$, $M\left( {1; - 2; - 1} \right) \in \Delta$ .

$\Delta {\rm{//}}\left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  \bot \overrightarrow n \\M \notin \left( P \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow$$m \ne 0$.

Ta có: $d:\,x - 1 = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{3} \Leftrightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 4 + 3t\end{array} \right.$.

Tọa độ giao điểm của $d$và $\left( P \right)$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 4 + 3t\\x + 4y + 9z - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\x = 0\\y = 0\\z = 1\end{array} \right.$.

Suy ra: $d \cap \left( P \right) = I\left( {0;\,0;\,1} \right)$