Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (hàm phân thức hữu tỷ)

Hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\)xác định khi và chỉ khi \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\).

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) là: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x + 1}}{{x - 1}}\) có:

+) TCĐ: x=1

+) TCN: y=3

Tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận nên \(I\left( { 1;\;3} \right)\).

Dựa vào BBT ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = \infty  \Rightarrow x = \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\( \Rightarrow \) loại đáp án C và D.

Lại thấy hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\,\,\frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

+) Xét đáp án A: \(y = \frac{{x + 2}}{{2x - 1}}\) ta có:\(y' = \frac{{ - 1 - 2.2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} =  - \frac{5}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} < 0 \Rightarrow \) loại đáp án A.

\( \Rightarrow y = \frac{{x - 2}}{{2x - 1}}\) là hàm số cần tìm.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ: \(x =  - 1 \Rightarrow c = 1.\)

Đồ thị hàm số có TCN: \(y =  - 1 \Rightarrow a =  - 1.\)

\( \Rightarrow y = \frac{{ - x + b}}{{x + 1}}.\)

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;\,\,1} \right) \Rightarrow b = 1.\)

\( \Rightarrow a + 2b + c =  - 1 + 2.1 + 1 = 2.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có TCĐ là: \(x = 1 \Rightarrow  - \dfrac{d}{c} = 1 \Rightarrow d =  - c \Rightarrow dc < 0.\)

Đồ thị hàm số có TCN là: \(y = 1 \Rightarrow \dfrac{a}{c} = 1 \Rightarrow a = c \Rightarrow ac > 0 \Rightarrow \) loại đáp án D.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(2 \Rightarrow \dfrac{b}{d} = 2 \Leftrightarrow b = 2d \Rightarrow bd > 0 \Rightarrow \) loại đáp án C.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}dc < 0\\ac > 0\\bd > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ad < 0\\bd > 0\end{array} \right. \Rightarrow ab < 0.\)

+ Đáp án A : Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\) nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(x = \frac{1}{2}\). Do đó A đúng.

+ Đáp án B: Đồ thị số có tiệm cận ngang là: \(y = \frac{2}{1} = 2\). Do đó B đúng.

+ Đáp án C: Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có ĐK: \(x \ne  - 1\) nên nó gián đoạn tại \(x =  - 1\) nên C đúng.

+ Đáp án D: Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có \(y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0;\,\forall x \ne  - 1\) nên nó đồng biến trên từng khoảng xác định \(\left( { - \infty ; - 1} \right);\,\left( { - 1; + \infty } \right)\). Do đó D sai vì ta không thể nói đồng biến trên tập xác định của hàm số.

Bước 1: Xác định giao điểm với trục hoành và đánh giá ab.

Từ đồ thị suy ra đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương.

Mặt khác, từ \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) suy ra đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm \(A\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\).

Từ đồ thị hàm số suy ra \( - \dfrac{b}{a} > 0 \Rightarrow ab < 0\).

Bước 2: Từ các đường tiệm cận suy ra tích ad.

Từ hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) suy ra đồ thị có các đường tiệm cận ngang và đứng lần lượt là:

\( = \dfrac{a}{c};x =  - \dfrac{d}{c}\)

Từ đồ thị hàm số suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{a}{c} > 0}\\{ - \dfrac{d}{c} < 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ac > 0}\\{dc > 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow ad{c^2} > 0 \Rightarrow ad > 0\).

Hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có TXĐ là \(D = R\backslash \left\{ { - \dfrac{d}{c}} \right\}\).

Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 \ge 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 1\) do \({x^2} - 2x + 1 = {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\)

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không có cực trị.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\) là \(x = \dfrac{2}{3}\)

Xét hàm số $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}}$:

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {\mkern 1mu} \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}} =  + \infty ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {\mkern 1mu} \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}} =  - \infty  \Rightarrow $

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là$x = 2$. Phương án A: đúng.

+) $y' =  - \dfrac{5}{{{{(x - 2)}^2}}} < 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \ne 2 \Rightarrow $ Hàm số $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}}$ không có cực trị và hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {2; + \infty {\rm{\;}}} \right)$. Phương án B và D: sai.

+) Ta có: $3 = \dfrac{{2.1 + 1}}{{1 - 2}}$ vô lí  $ \Rightarrow $Đồ thị hàm số không đi qua điểm$A(1;3)$. Phương án C: sai.

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng nên \(I\left( { - \dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}} \right)\).

+ Từ đồ thị ta nhận thấy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định \( \Rightarrow y' > 0\).

+ Do hàm số \(y = \dfrac{{x + a}}{{x - 1}}\) không xác định tại \(x = 1\) \( \Rightarrow y' > 0\,\,\forall x \ne 1\).

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = \dfrac{3}{2}\) và tiệm cận ngang \(y =  - \dfrac{1}{2}\)

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số chính là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ - x + 1}}{{2x - 3}}\) là \(\left( {\dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\) nên tâm đối xứng là \(\left( {\dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\)

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 2$ và đi xuống.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - {\mkern 1mu} \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + {\mkern 1mu} \infty } \right)$$ \Rightarrow $$y' < 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \ne 2.$

Quan sát bảng biến thiên ta thấy:

- Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 2\) làm TCĐ, đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang nên loại B và D.

Lại có, hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.

Xét đáp án A:

Có \(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2 + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2\).

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng xác định, phù hợp với các yêu cầu ở trên.

Từ đồ thị hàm số ta xác định được đây là đồ thị của hàm số dạng \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\)  nên loại C và D.

Nhận thấy đồ thị hàm số trên hình  nhận \(y = 1\)  làm  TCN và \(x = 1\) làm TCĐ 

+ Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\)  nhận \(y = 2\)  làm  TCN và \(x = 1\) làm TCĐ  nên loại A.

+ Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\)  nhận \(y = 1\) làm  TCN và \(x = 1\) làm TCĐ  nên chọn B.

Ta có đồ thị hàm số có đường cong đi xuống nên \(y' < 0,\,\forall x \ne 1\)

Từ BBT ta có hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định và $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y = \infty $ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=1\), tiệm cận đứng \(x=1\).

+) Hàm số \(y=\dfrac{x-2}{x-1}\) có \({y}'=\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0\,\,\forall x\ne 1\), có \(y=1\) là tiệm cận ngang và \(x=1\) là tiệm cận đứng.