Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (hàm phân thức hữu tỷ)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} {\mkern 1mu} y = \infty  \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x =  - 1 \Rightarrow \) Loại đáp án B và D.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {\mkern 1mu} y = 2 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 2 \( \Rightarrow \) Loại đáp án C.

Từ đồ thị suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là \(y=1\) và tiệm cận đứng là \(x=1\) đồng thời đồ thị đi qua điểm \(\left( 0;-1 \right)\) nên chọn đáp án D.

Vì đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y=1;x=2\) làm đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng và đồ thị hàm số cắt \(Oy\) tại điểm có tung độ bằng \(-1\) nên ta có hệ :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \dfrac{b}{c} = 2}\\{\dfrac{a}{c} = 1}\\{\dfrac{2}{b} =  - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b =  - 2}\\{c = 1}\end{array}} \right.\).

TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ -\frac{1}{c} \right\}.\)

Ta có: \(y'=\frac{a-bc}{{{\left( cx+1 \right)}^{2}}}.\)

Ta thấy đồ thị có TCĐ \(x=-1\Rightarrow -\frac{1}{c}=-1\Rightarrow c=1\Rightarrow \) Mệnh đề (1) đúng.

Đồ thị hàm số có TCN \(y=2\Rightarrow \frac{a}{c}=2\Leftrightarrow a=2c=2\Rightarrow \) Mệnh đề (2) đúng.

Theo BBT ta thấy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của hàm số.

\(\Rightarrow y'>0\Leftrightarrow a-bc>0\) do \({{\left( cx+1 \right)}^{2}}>0\,\,\,\forall x\in D \)

\(\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( -\infty ;\,\,-1 \right)\) và \(\left( -1;+\infty  \right)\Rightarrow \) Mệnh đề (3) sử dụng kí hiệu hợp nên sai.

Nếu \(y'=\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow \frac{a-bc}{{{\left( cx+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow \frac{2-b}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow 2-b=1 \\  & \Leftrightarrow b=1. \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow \) Mệnh đề (4) đúng.

Như vậy có 3 mệnh đề đúng.

Ta có x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nên TXĐ của hàm số là  \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Hàm số liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và  \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Theo chiều tăng của x, ta thấy đồ thị hàm số đi xuống trên toàn bộ TXĐ, tức là y giảm, do đó hàm số nghịch biến trên TXĐ của nó.

+ Từ đồ thị ta nhận thấy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định \( \Rightarrow y' > 0\).

+ Do hàm số \(y = \dfrac{{x + a}}{{x + 1}}\) không xác định tại \(x =  - 1\) \( \Rightarrow y' > 0\,\,\forall x \ne  - 1\).

Xét hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\)  có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Ta có \(y' = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\) nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định hay hàm số không có cực trị. Do đó C sai. Và hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên toàn tập xác định của nó nên D đúng.

Đồ thị hàm số nhận \(y = 1\) làm TCN và \(x =  - 1\) làm TCĐ nên A đúng.

Thay \(x = 1;y = 0\) vào hàm số ta được \(0 = \dfrac{{1 - 1}}{{1 + 1}} \Leftrightarrow 0 = 0\) (luôn đúng) nên điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thuộc  đồ thị hàm số, do đó B đúng.

Bước 1: Tính giới hạn của hàm số tại vô cực để tính a, tìm đường tiệm cận đứng, từ đó tìm c

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - 1 \Rightarrow \dfrac{a}{1} =  - 1 \Rightarrow a =  - 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty  \Rightarrow c =  - 1\)

Bước 2: Thay tọa độ điểm (0;-2) vào hàm số tìm b, tính ab-c.

Thay tọa độ của (0;-2) vào ta được:

\( - 2 = \dfrac{b}{c} \Rightarrow b =  - 2c = 2\)

\( \Rightarrow ab - c =  - 1\)

Ta có đồ thị hàm số có phần đường cong đi xuống nên \(y' < 0\) với \(x \ne  - 1\)

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có TCN \(y = \dfrac{a}{c}\), TCĐ \(x =  - \dfrac{d}{c}\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(\dfrac{a}{c} > 0 \Leftrightarrow ac > 0\), \( - \dfrac{d}{c} > 0 \Leftrightarrow cd < 0\).

\( \Rightarrow ac.cd < 0 \Leftrightarrow ad.{c^2} < 0 \Leftrightarrow ad < 0\), do đó loại đáp án A và D.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên thay \(x = 0\) ta có \(\dfrac{b}{d} < 0 \Leftrightarrow bd < 0\).

\( \Rightarrow cd.bd > 0 \Leftrightarrow bc.{d^2} > 0 \Leftrightarrow bc > 0\), loại đáp án C.

Vậy \(ad < 0,\,\,bc > 0\).

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ là \(x = 1 \Rightarrow \) loại đáp án C và D.

Đồ thị hàm số có TCN là \(y = 1 \Rightarrow \) loại đáp án B.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ là \(x = 1\) \( \Rightarrow \) loại đáp án C và D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2;\,\,0} \right)\)

Thay x=2 vào đáp án A ta thấy y=0 nên đồ thị hàm số ở đáp án A đi qua (2;0) (thỏa mãn).

Thay x=2 vào đáp án B ta thấy y=4/3 nên loại B.

Xét hàm số: \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)

Ta có: Đồ thị hàm số có TCĐ: \(x =  - 1\) và TCN: \(y = 1.\)

\( \Rightarrow I\left( { - 1;\,\,1} \right)\) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Ta có từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số giảm, có tiệm cận ngang là \(y =  - 2\) nên loại đáp án A, C và D.

Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy :

+) Hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là \(x = m > 0\) nên \(\dfrac{{ - d}}{c} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{d}{c} < 0,\,\,\,d < 0 \Rightarrow c > 0\).

+) Hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là \(y = n > 0\) nên \(\dfrac{a}{c} > 0,\,\,\,c > 0 \Rightarrow a > 0\).

+) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(\dfrac{b}{d} < 0,\,\,\,d < 0 \Rightarrow b > 0\).

Vậy \(a > 0,\,\,b > 0,\,\,c > 0\).

Quan sát BBT ta thấy:

- Đồ thị hàm số có TCĐ \(x = 1\) nên loại đáp án A.

- Đồ thị hàm số có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = 1 \Rightarrow \)TCN \(y = 1\) nên loại đáp án C.

- Hàm số nghịch biến trên TXĐ nên loại đáp án B (do đáp án B có \(y' = \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \ne 1\)).

Dựa vào BBT ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) =  - \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) =  + \infty  \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có TCĐ \(x =  - 1\). Do đó loại phương án A, D.

Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = 2\) nên đồ thị hàm số có TCN \(y = 2\), do đó loại đáp án B.

Đáp án A: Hàm số xác định nếu \(x \ne 0\) nên loại.

Đáp án B: Hàm số xác định nếu \(x \ne  - 1\) nên loại.

Đáp án C: Hàm số xác định nếu \({x^2} + 1 \ge 0\) luôn đúng nên C đúng.

Đáp án D: Hàm số xác định nếu \({x^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  \pm 1\) nên loại.

Hàm số xác định khi \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\).

Dễ thấy hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\) là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nên không có cực trị.

Ngoài ra, có thể kiểm tra được các cực trị của mỗi hàm số được cho ở ba đáp án B, C, D.