Hàm số mũ

Hàm số mũ $y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)$ đồng biến khi $a > 1$.

Đồ thị hàm số $y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)$ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành.

Hàm số xác định $\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{{x^2} - 3x}} \ge \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{{x^2} - 3x}} \ge {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{ - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - 3x \le  - 2$

$\Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 2$.

Viết lại $f\left( x \right) = {2^x}{.5^x} = {10^x}.$ Suy ra $f'\left( x \right) = \left( {{{10}^x}} \right)' = {10^x}.\ln 10.$

Vậy $f'\left( 0 \right) = {10^0}.\ln 10 = 1.\ln 10 = \ln 10.$

Ta có $f'\left( x \right) = 10x.{e^{{x^2}}}$.

Do đó $f'\left( 0 \right) = 0$ và $f\left( 0 \right) = 5$.

Vậy $P = f'\left( x \right) - 2xf\left( x \right) + \dfrac{1}{5}f\left( 0 \right) - f'\left( 0 \right)$ $= 10x{e^{{x^2}}} - 2x.5{e^{{x^2}}} + \dfrac{1}{5}.5 - 0 = 1$

Tập xác định của hàm số $y = {6^x}$ là $\mathbb{R}$.

Ta có:

Hàm số $y=a^{-x}$ nghịch biến khi $a>1$ nên các đáp án B, D đều sai.

$y = {a^{ - x}} = \dfrac{1}{{{a^x}}} = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)$ nên hàm số đồng biến nếu $\dfrac{1}{a} > 1 \Leftrightarrow 0 < a < 1$.

$\begin{array}{l} y' = \left( {{x^2} - 3x} \right)'{2^{{x^2} - 3x}}\ln 2\\ = \left( {2x - 3} \right){2^{{x^2} - 3x}}\ln 2 \end{array}$

Hàm số $y = {e^x}$ có TXĐ là $\mathbb{R}.$

Trong các đáp án, chỉ có đáp án B là hàm số có hệ số $a = \frac{1}{3} < 0 \Rightarrow y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}.$

$y = {2^{\sin x}}$$\Rightarrow y' = \left( {\sin x} \right)'{.2^{\sin x}}\ln 2 = \cos x{.2^{\sin x}}.\ln 2.$

$y' = \left( {{3^{{x^2} - x}}} \right)' = \left( {2x - 1} \right){3^{{x^2} - x}}\ln 3$.

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $f'\left( x \right) = {e^{x + 1}} > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;3} \right]$, do đó hàm số đồng biến trên $\left( {0;3} \right)$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = {e^4} - 2$.

Tập xác định của hàm số $y = {8^x}$ là $\mathbb{R}$

Hàm số mũ $y = {9^x}$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Tập xác định của hàm số $y = {7^x}$ là $\mathbb{R}$

Các hàm số ở mỗi đáp án A, B, D đều có hệ số $0 < a < 1$ nên chúng nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Hàm số $y = {3^{2x}}$ có $3 > 1$ nên nó đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Đáp án A sai vì đồ thị hàm số $y = {2^x}$ đi qua điểm $\left( {0;1} \right)$.

Đáp án B sai vì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 0$ chứ không có tiệm cận đứng.

Đáp án C sai vì đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

Đáp án D đúng vì ${2^x} > 0,\forall x$.

Do $y = {a^{ - x}} = \dfrac{1}{{{a^x}}} = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}$ nên:

+ Nếu $0 < a < 1$ thì $y = {a^{ - x}}$ đồng biến.

+ Nếu $a > 1$ thì $y = {a^{ - x}}$ nghịch biến.

Từ đó ta thấy các đáp án A, B, D đều sai.

Đáp án C có $0 < \dfrac{\pi }{5} < 1$ nên hàm số $y = {\left( {\dfrac{\pi }{5}} \right)^{ - x}}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Ta có: $y = {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^{ - x}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^x}}} = {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2  + 1}}} \right)^x} = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^x}$ nên hai hàm số $y = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^x}$ và $y = {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^{ - x}}$ là một. Do đó chúng có chung đồ thị.