Hàm số mũ

Hàm số mũ \(y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) đồng biến khi \(a > 1\).

Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành.

Hàm số xác định $ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{{x^2} - 3x}} \ge \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{{x^2} - 3x}} \ge {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{ - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - 3x \le  - 2$

$ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 2$.

Viết lại \(f\left( x \right) = {2^x}{.5^x} = {10^x}.\) Suy ra $f'\left( x \right) = \left( {{{10}^x}} \right)' = {10^x}.\ln 10.$

Vậy \(f'\left( 0 \right) = {10^0}.\ln 10 = 1.\ln 10 = \ln 10.\)

Ta có $f'\left( x \right) = 10x.{e^{{x^2}}}$.

Do đó $f'\left( 0 \right) = 0$ và $f\left( 0 \right) = 5$.

Vậy $P = f'\left( x \right) - 2xf\left( x \right) + \dfrac{1}{5}f\left( 0 \right) - f'\left( 0 \right) $ $= 10x{e^{{x^2}}} - 2x.5{e^{{x^2}}} + \dfrac{1}{5}.5 - 0 = 1$

Tập xác định của hàm số \(y = {6^x}\) là \(\mathbb{R}\).

Ta có:

Hàm số $y=a^{-x}$ nghịch biến khi $a>1$ nên các đáp án B, D đều sai.

\(y = {a^{ - x}} = \dfrac{1}{{{a^x}}} = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) nên hàm số đồng biến nếu \(\dfrac{1}{a} > 1 \Leftrightarrow 0 < a < 1\).

$\begin{array}{l}
y' = \left( {{x^2} - 3x} \right)'{2^{{x^2} - 3x}}\ln 2\\
= \left( {2x - 3} \right){2^{{x^2} - 3x}}\ln 2
\end{array}$

Hàm số \(y = {e^x}\) có TXĐ là \(\mathbb{R}.\)

Trong các đáp án, chỉ có đáp án B là hàm số có hệ số \(a = \frac{1}{3} < 0 \Rightarrow y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)

\(y = {2^{\sin x}}\)\( \Rightarrow y' = \left( {\sin x} \right)'{.2^{\sin x}}\ln 2 = \cos x{.2^{\sin x}}.\ln 2.\)

\(y' = \left( {{3^{{x^2} - x}}} \right)' = \left( {2x - 1} \right){3^{{x^2} - x}}\ln 3\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = {e^{x + 1}} > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0;3} \right)\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = {e^4} - 2\).

Tập xác định của hàm số \(y = {8^x}\) là \(\mathbb{R}\)

Hàm số mũ \(y = {9^x}\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Tập xác định của hàm số \(y = {7^x}\) là \(\mathbb{R}\)

Các hàm số ở mỗi đáp án A, B, D đều có hệ số \(0 < a < 1\) nên chúng nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số \(y = {3^{2x}}\) có \(3 > 1\) nên nó đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án A sai vì đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\).

Đáp án B sai vì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 0\) chứ không có tiệm cận đứng.

Đáp án C sai vì đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

Đáp án D đúng vì \({2^x} > 0,\forall x\).

Do \(y = {a^{ - x}} = \dfrac{1}{{{a^x}}} = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\) nên:

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì \(y = {a^{ - x}}\) đồng biến.

+ Nếu \(a > 1\) thì \(y = {a^{ - x}}\) nghịch biến.

Từ đó ta thấy các đáp án A, B, D đều sai.

Đáp án C có \(0 < \dfrac{\pi }{5} < 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\dfrac{\pi }{5}} \right)^{ - x}}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y = {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^{ - x}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^x}}} = {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2  + 1}}} \right)^x} = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^x}\) nên hai hàm số \(y = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^x}\) và \(y = {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^{ - x}}\) là một. Do đó chúng có chung đồ thị.